Mi pregunta es la siguiente,si yo quiero sacar el residuo en el infinito de una funciòn, entonces por definiciòn \(\text{Res}(f(z),\infty )=\text{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right)\), y ahi veo q tipo de singularidad es para esa funcion y saco el residuo. Ahora es lo mismo ver q tipo de singularidad es para la funcion f(1/z)??? porq habia un ejercicio en el q no, y el residuo era distinto, asi q yo lo haría por definición, pero quería que alguien me conteste!
Viendo como se comporta \(f\left( \frac{1}{z} \right)\) en el cero, ves como se comporta \(f(z)\) en el infinito, que tipo de singularidad es. El tema es que una función puede ser holomorfa en el infinito e igual tener residuo no nulo allí (ejemplo \(f(z)=\frac{1}{z}\)). Así que si te piden calcular el residuo usá la fórmula que pusiste, y si además te piden que tipo de singularidad es, ves como se comporta \(f\left( \frac{1}{z} \right)\) en el cero. La justificación a todo esto creo que viene del lado que nosotros vimos como son las singularidades en \(\mathbb{C}\), pero el infinito no está en \(\mathbb{C}\).
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'