Tengo entendido que el método de la potencia funciona más o menos así:
- Tengo una matriz \(A\) de \(n{\times}n\)
[/*:m] - Elijo un vector cualquiera \(b\) de \(n{\times}1\)
[/*:m] - Itero \(b_{k+1} = A\ b_k\)
[/*:m] - \(b_k\) converge a \(x_1\), el autovector asociado al radio espectral \(\lambda_1\);
y el cociente entre la coordenada de mayor módulo de \(b_k\) y la misma coordenada de \(b_{k-1}\), converge a \(\lambda_1\).[/*:m]
Mi problema es que el autovector que obtengo varía con mi elección de \(b\).
Tengo una matriz $$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \ -2 & 4 & -2 \ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$ y aplico el método de la potencia usando de vector inicial
$$b = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}$$
.
Itero y \(\frac{{b_k}_i}{{b_{k-1}}_i}\) converge a \(1 = \lambda_{\color{red}2}\) (el segundo mayor-en-módulo autovalor) y \(b_k\) converge a
$$\begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = x_2$$
(el autovector asociado a \(\lambda_2\)),
en vez de converger a \(\lambda_1 = 5\) (el radio espectral de \(A\)) y a
$$x_1 = \begin{bmatrix} 1 \ -4 \ 1 \end{bmatrix}$$
(el autovector dominante de \(A\)), respectivamente.
Pero si elijo, por ejemplo,
$$b = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$$
como vector inicial para el método de la potencia, obtengo el resultado esperado: \(\frac{{b_k}_i}{{b_{k-1}}_i}\) converge al radio espectral y \(b_k\) a su autovector asociado.
¿Qué es lo que está pasando? Gracias
Firma
Vicente Luy escribió:
Si me equivoco contradíganme con amor, porque con amor digo.
Si erro póngame maestros, que luego yo les enseño, porque con amor hago.