[No Resuelto] P:1 - Ej. 1 - [2do cuatri 2015]

Sea \(A_x=\{m\in \mathbb{Z}: m\le x\}\). Quiero verificar que \(A_x\neq\emptyset\). ¿está bien si separo en dos casos? El primero sería si \(x\in\mathbb{Z}\), lo cual me produce que \(A_x=\{x\}\). El segundo caso sería si \(x\in\mathbb{R}\). Si llegase a estar bien hasta acá el planteo, ¿como puedo seguir para verificar que no es vacío el conjunto?

El ejercicio te pide probar, en esencia, que \(\forall x, x \in \mathbb{R}\) se tiene que \(\exists n \in \mathbb{Z}\) tal que \(n \leq x < n+1\). Para probar esto podes usar el principio de Arquímedes ó partirlo en dos casos, positivos y negativos, combinándolo con esto: si \(a \leq b \rightarrow -b \leq -a\)