Dice:
Sea \((X,d)\) un espacio metrico separable. Probar que toda familia de subconjuntos de \(X\) no vacios, abiertos y disjuntos dos a dos es a lo sumo numerable.
Yo hice esto:
Vamos a probarlo por el absurdo. Supongamos que exite una familia de subconjuntos de X abiertos, no vacios y disjuntos dos a dos ni finita ni numerable. Llamemosle \(D = \lbrace A \subseteq X \textrm{,que cumplen todo eso} \rbrace\).
Sea B la union disjunta de todos los \(A \subseteq D\). Es decir, \(B=\cup A_{i} \forall i\). Luego \(B\) es abierto, pues toda union de abiertos es abierto. Ademas \(B\subseteq X\) pues cada \(A_{i} \subset X\).
Ahora usamos que \(X\) es separable: COmo \(X\) es separable, entonces existe \(C=\lbrace U_{i} \rbrace _{i \in \mathbb{N}}\) base numerable de abiertos de \(X\). Como \(B \subseteq X\), entonces \(B = \cup U_{i}\) para algun i. Como union numerable de numerables es numerable, por la igualdad, \(B\) es numerable. Si B es numerable y \(B=\cup A_{i}\), entonces los \(A_{i}\) son numerables \(\forall i\). Aca esta el absurdo, pues supuse que \(D = \lbrace A \subseteq X \textrm{,que cumplen todo eso} \rbrace\) era no numerable
Espero que se entienda. Si hay algo mal avisenme
Gracias
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