Sea \((X,d)\) un espacio métrico conexo y sea \(A \subseteq X\) conexo. Si \(C\) es una componente conexa de \(X-A\), probar que \(X-C\) es conexo.
Necesito ayuda para terminar de resolver el ejercicio, sospecho que en el fondo me estoy mareando con la noción de abierto relativo a un conjunto. Planteo lo que hice:
Planteo que no es conexo, entonces la idea es encontrar un conexo H distinto de C, tal que \(C \subsetneq H \subseteq X-A\). Entonces eso sería absurdo porque C es componente conexa de X-A.
Entonces X-C no conexo, entonces \(X-C = U \cup V\). Con U y V abiertos y cerrados en X-C. Por otro lado, como A es conexo, asumo que A está incluido en U (notar que \(A\subset X-C\)). Entonces digo que \(C\cup V\) es mi candidato para llegar al absurdo de antes. Quiero probar qeu \(C \cup V\) es conexo. Si no lo fuera, \(C \cup V = B_1 \cup B_2\) . Con \(B_1\) y \(B_2\) abiertos y cerrados en \(C \cup V\). Como C es conexo, asumo \(C \subset B_1\). Entonces \(B_2\) en realidad es abierto y cerrado en V y como V es abierto y cerrado en X-C, \(B_2\) es abierto y cerrado en X-C.
Y ahora viene la parte que no pude probar bien, quiero probar que entonces \(B_2\) es abierto y cerrado en \((C\cup V) \cup (X-C) = X\)
Y como X es conexo, eso no podría pasar.