[No resuelto] 23/07/13 recu 2do parcial

Prometo subir las resoluciones cuando aprenda Latex 🙂

Hola, dejo algunas ideas

\(0=d(A,B)=d(\bar{A},\bar{B})\) y como \(X\) es compacto entonces \(\bar{A},\bar{B}\) son compactos pues son cerrados en \(X\). Entonces \(\bar{A}\cap \bar{B}\neq \emptyset\)
Notar que \(\bar{A}=A^{\circ} \cup\partial A\) unión disjunta y que \(A^{\circ} \cap B^{\circ} = \emptyset\)

a) Se prueba que los conjuntos \(C_a=\{(x_n)\in \ell_\infty : x_n\rightarrow a\}\) son separables (en general lo prueban para a=0)

Para calcular la norma suponer que \(\phi \neq 0\) y notar que \(||\phi||>0\) es "grande" si se compara con los valores de \(|\phi (x)|\) en un entorno al 1 (pues \(\phi (1) = 0\) y es continua)

a)La inclusión \(T(M)\subseteq M\) es más fácil. Para la otra inclusión tomar \(x\in M\) y notar que \(\exists (y_n)\subset H\) tal que \(T^k(y_k)=x \, \forall k\geq 1\)
Luego probar que las \(T^k\) son inyectivas \(\forall k\) y encontrar \(y\in H\) tal que \(T(y)=x\)
b) Usar a)

Probar que \(T(x)=Ax\) es contracción. Deducir la inyectividad de \(U(x)=x-Ax\)