Probar que \(G=(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}) \cup ((\mathbb{R}-\mathbb{Q}) \times (\mathbb{R}-\mathbb{Q}))\)
es conexo.
La idea de este problema es construirse un conjunto conexo bien "grande".
Si consdieramos el conjunto \(H\) de las rectas que pasan por el origen con pendiente racional, distinta de cero. Es claro que es un conjunto incluido en \(G\). Además es arcoconexo, tomemos dos puntos cualesquiera en este conjunto \(a\) y \(b\) Por la misma definicion de \(H\) los segmentos que unen \((0,0)\) y \(a\) y \((0,0)\) y \(b\) están en \(H\) luego \(a\) y \(b\) pertenecen a la componente arcoconexa del \((0,0)\). Luego \(H\) es arcoconexo, en particular conexo. Además veamos que todos los puntos de \(\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\) que tienen ambas coordenadas distintas de cero están en \(H\). No es muy dificil ver que este conjunto unión el \((0,0)\) es denso en \(R^2\) y por lo tanto es denso en \(G\)
Luego \(G\) posee un subconjunto denso conexo, lo que implica que \(G\) es conexo
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Daniel