Ayuda por favor

tengo una duda, hay un teorema q no me queda claro, y me pone tenso, dice q si tengo un conjunto llamemos lo A no vacio de numeros reales abierto entonces existe una familia de intervalos llamemoslos (Ii) contable, disjuntos dos a dos tales q la union me da el conjunto A.
ahora mi duda es esta, supongamos q tengo un intervalo abierto de reales
y tengo una familia de esas tal q la union me da todo, ahora si yo agarro uno de esos intervalitos abiertos llamemoslo I1 y me quedo con uno de los extremos, q no pertenece a ese intervalo xq es abierto, ese numero tampoco puede estar en ningun otro intervalo no? xq si estuviese habria una bolita contenida en ese intervalo pongamosle I2, entonces necesariamente tendria q intersecar al otro intervalo I1, entonces como hacen para cubrirme todo???
no se si se entendera mi pregunta, pero me ta poniendo tenso y no se q es lo q no estoy entendiendo o viendo.
al margen tengo q rendir mañana avanzado y me quede pensando en esto y no me puedo concentrar
muchas gracias

Tu razonamiento es correcto, los intervalitos del teorema son las componentes conexas.

Veamos un ejemplo:
*\(A=\mathbb{R}\) tomas un solo intervalo igual a \(A\)
*\(A=\mathbb{R}-\{0\}\) tomas dos intervalos los positivos y los negativos.

Se entiende?

aaaaaaaaaaaaaaaaah o sea q si mi conjunto es un solo intervalo, mi familia va a ser ese intevalo, es eso no?

exactamente