Hallar todas las funciones \(x(t)\) e \(y(t)\) que satisfagan simultaneamente las siguientes condiciones:
\(i) x''+3x'-4x=0\) \(y''+2y'-3y=0\)
\(ii) x(0)=0\) \(y(0)=0\)
Primero busqué las raíces de los polinomios característicos de cada uno, así obtuve las soluciones del homogéneo, ya en la segunda parte establezco para que constantes de cada función se me cumple lo pedido y en la tercera parte hago un análisis similar, pero ya teniendo en cuenta los condiciones que puse en ii) para las constantes.
Lo que no me termina de cerrar es el hecho de que se cumplan simultáneamente cosas para dos ecuaciones distintas, o sea, son ecuaciones distintas con constantes distintas. Si alguien me dice si estoy en buen camino.. gracias!!
Las soluciones generales son \(x=c_1e^{-4t}+c_2e^t\), \(y=k_1e^{-3t}+k_2e^t\). Como querés que en 0 valgan 0 las dos, tenés que \(c_1=-c_2\) y \(k_1=-k_2\). Entonces las ecuaciones quedan: \(x=c_1(e^t-e^{-4t})\) e \(y=k_1(e^t-e^{-3t})\). Si derivás las dos soluciones y las ponés en el cociente, te queda que ese límite es \(c_1/k_1\), así que para que el cociente tienda a 1 necesitás \(c_1=k_1\).