Tema
Este ejercicio lo intente hacer, pero no se me ocurre como sacarle la vuelta.
Sea \(F: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) una funcion localmente lipschitz tal que \(F(p_1)=F(p_2)=0\) con \(p_1<p_2\). Probar que si \(x_0\in (p_1,p_2),\) entonces la solucion de
\(x'(t)=F(x(t)),\) \(x(0)=x_0\)
esta definida para todo \(t\in \mathbb{R}\)
muchisimas gracias!
Lo mío no es riguroso pero la idea está.
Primero probé que \(p_1\) y \(p_2\) son puntos estacionarios y cualquier solución que pase por ahí es constante. Sea \(x_1\equiv p_1\), que es solución de la ec. diferencial ya que \(x_1' = F(p_1) = 0\). Si \(x(\tau)=p_1\) entonces \(x(\tau)=x_1(\tau)\) así que por unicidad \(x\equiv p_1\). Lo mismo para \(p_2\).
Ya que una hipótesis es que \(p_1 < x(0)=x_0 < p_2\), tenemos que \(p_1\ne x(t) \ne p_2\). Al ser \(x\) contínua, esto implica \(p_1 < x(t) < p_2\).
Ya que \(F\) es localmente Lipschitz, es Lipschitz en \([p_1,p_2]\) así que, estando \(x(t)\) restringida a ese intervalo, se puede extender a todo \(\mathbb R\)