Parametrizaciones

Buenas gente, estoy empezando a parametrizar pero tengo el problema de que las practicas son malas y no dan ejemplos.

por ejemplo me dicen (ej 13 practica 1) sea C la curva dada por

x=a cost
y=a sent
z=bt

Parametrizar esta curva por longitud de arco.

y otra F(x,y,z)=xcosz

La parametrizacion que dicen es \(\sigma(t)=(t,{t}^{2},0).\)

Como llego a eso?

Muchas gracias!

NO SÉ QUÉ PASA NO ME PONE LAS COSAS EN LATEX.

si mal no recuerdo, parametrizar por longitud de arco quería decir una parametrización tal que la norma de la derivada fuera 1. Quizás estoy mandando fruta porque no me acuerdo de nada, si es así corríjanme sin culpa. Si estuviera en lo cierto, entonces en el primer ejercicio podrías considerar:

y \(|| \sigma'(t)||=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\)

entonces, podés definir una nueva parametrización, \(\gamma (t)=\frac{ \sigma(t)}{||\sigma'(t)||}\)

Y la norma de la derivada de esta parametrización (que es como el jacobiano de análisis 1, en el sentido de que es la cosa por la que multiplicás a la función después de componerla con la parametrización para asegurarte de que al integrar estás integrando sobre esa curva) te queda igual a 1.

Sobre el segundo ejercicio... estás seguro de que lo copiaste bien? porque F(x,y,z)=x cosz no define una curva en \({\mathbb{R}}^{3}\).

igual tomá con pinzas lo que digo porque yo con el tiempo me olvido más y más de las cosas.

buenas!, gracias Bel por tu rapida respuesta.

En el primer ejercicio veo que tomas la parametrizacion = a la curva, y no me queda claro como lo pensaste eso.

Despues lo que no entiendo es como sabes que la norma de sigma prima es igual a 1
Por que el resultado es la raiz de acuadrado+bcuadrado, no veo que eso sea igual a 1.

La idea conceptual de lo que decis es asi, de hecho el ejercicio anterior a este era demostrar eso.

y sobre el otro ejercicio, no esta mal copiado, es asi como esta en la guia, raro no?

Saludos!

Una Curva es un conjunto de puntos que bien pueden ser descriptos por medio de un parametro y llamamos a la funcion \(U(t)=(X(t),Y(t),(Z(t))\) PAREMETRIZACION DE LA CURVA .Fijate que Bel tomo la descripcion de la curva ,en las coordenadas\(x,y,z\) por el parametro \(t\) , y escribio la funcion \(U(t)\) de la que te hablaba antes para el caso de "esa" curva, es decir, Parametrizo la Curva.
Por otro lado \(\gamma (t)=\frac{ \sigma(t)}{||\sigma'(t)||}\) es un vector dividido por su norma,es decir un versor,por propiedades de norma la norma de un cociente es el cociente de als normas y si tomas norma nuevamente al vector vas a poder dividirla por la norma del divisor y asi sigma prima te queda de norma uno.Me olvidaba,lo qeu Bel te dijo no es que \(|| \sigma'(t)||=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\) tiene norma unitaria,te dijo que esa es la norma de sigma.
Una ultima cosa,el ejercicio que decis,segun estoy viendo dice otra cosa,te da la funcion \(f(x,y,z)=xcos(z)\) y te da la parametrizacion de la curva \(U(t)=(t,{t}^{2};0)\) y te pide que evaluies la integral de longitud de arco de esa funcion sobre esa curva,no se si me explico,pero f es funcion,no es la curva que parametrizo con \(U(t)\)
Te dejo el grafico de la funcion,por si te sirve verla 🙂

Saludos y corrijanme a mi si me equivoque en algo,o si interprete mal algo de lo que escribieron anteriormente,lo cual es muy posible 🙂

p.s:perdon si no se entiende mucho pero no compila el tex 😢 en cuanto se arregle,supongo que se vera mejor 🙂

claro, es como dice Maca. Quizás cuando compile el tex se entienda más, fijate que yo en ningún momento dije que sigma' tuviera norma uno, sino que gamma' tenía norma 1, lo cual se cumple por cómo definí gamma. Enotnces, mi parametrización por longitud de arco es gamma, no sigma (quizás fue confuso lo de los nombres).

espero que se entienda, cualquier ocsa pregunta!!

ok, me va quedando mas claro ahora me voy a poner a aplicarlo a ver que sale jeje

Gracias de verdad por sus respuestas

Saludos!