a ver; tengo \(\pi_{1}=\left<v_{1}, v_{2}\left> + q\) y \(\pi_{2}=\left<w_{1}, w_{2}\left> + q\)
si quiero calcular una rotacion q haga \(f(\pi_{1})=\pi_{2}\); quisiera consultar si estos pasos estan bien
1º) calculo \(d(\pi_{1}, 0)=d(\pi_{2}, 0)\)
2º)busco los puntos q realizan las distancias, es decir busco los puntos de\(\pi_{1}\)y \(\pi_{2}\) talq esos puntos sean la interseccion entre pi1 y p1 ortogonal y pi2 y pi2 ortogonal respectivamente.
3º)calculo las rectas q pasan por el 0 y cada uno de los ptos q realizan las distancias, es decir obtengo dos rectas..
4º)me armo una base ortonormal de V q contenga que contenga una base ortonormal de pi1 y una de la recta; hago lo mismo con pi2 (es esto realmente necesario, tengo q ortonormalizar pi2 o solo basta con hacerlo con pi1)
5º)mando t1 normalizado a s1 normalizada (q es el de pi2) y elijo a quien mandar los otros dos vectores ortonormales de pi1 (los mando a los dos ortonormales de pi2)...eso si, me fijo q cumpla q la matriz en la base B tenga det=1
espero q se haya entendido y por favor diganme todo lo q estaria haciendo mal
Bueno a mi también me encantaría que alguien explique bien esto jeje.
yo tengo una dudita: la recta que formo con el punto que realiza la distancia, siempre es perpendicular al subespacio, no? tanto sea que el subespacio ne cuestión fuera una recta como si fuera un plano
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Mi humilde opinión es la siguiente:
1ro). Mirás que la distancia al cero de ambos sea la misma, (eso te asegura que existe la \(f\) ortogonal).
2do). Tomás la intersección entre los planos:
Supongamos que es una recta \(L_{1} = \left< v_{1} \right> + p_{1}\) .
A los planos los podés pensar como:
\(\pi_{1} = \left< v_{1} , w_{1} \right> + p_{1}\) y \(\pi_{2} = \left< v_{1} , w_{2} \right> + p_{1}\) .
Entonces podés hacer lo siguiente:
$$f( p_{1} ) = p_{1}$$
$$f( v_{1} ) = v_{1}$$
$$f( w_{1} ) = w_{2}$$
Esta construcción verificaría \(f(\pi_{1}) = \pi_{2}\) .
Ahora, armás \(|f|_{BE}\) , donde \(B\) es la base \(B= \{ p_{1} , v_{1} , w_{1} \}\) .
Ahora, sea \(B_{1} = B\) ortonomalizada.
Haciendo cambios de base:
\(|f|_{B_{1} B_{1}} = C(E,B_{1}) \cdot |f|_{BE} \cdot C(B_{1} B)\) .
Ahí tengo la matriz de en una base ortonormal. Bastaría chequear que eso tengo determinante \(1\), además de que la matríz sea ortogonal.
Nota: tengo nuevamente dudas con esto, así que agradezco que alguien corrija :S
hace falta chequear que la matriz sea ortogonal??? quiero decir... no me aseguro ahciendo esto que lo sea??? y si llegara a no serlo.. que hago!? aaaaa
jajaja
me desespera un poco esto
y por otra parte, si los planos fueran paralelos... ahi como seria? vale lo que dijo andres??
de cualquier modo a mi me gusto tu metodo, me parece claro, creo.. excepto por esto de que podria no dar ortogonal la matriz, me aterra un opco
como seria la cuestion??
bueno muchas gracias pro als respuestas 😄
ay ya entendí, si manda bon en bon es ortogonal
buenisimo.
ahora volvednoa mi pregunta.. que pàsa en los planos paralelos? tomas una recta que pase por el 0 como eje de rotacion, mandas el punto que realiza la distancia de uno al otro, y un vector de un plano a uno del otro?
y sigue valiendo mi pregunta de arriba..
la recta que pasa por el 0 y por el punto que realiza la distancia simepre es ortogonal no?
Me parece que la que pasa por el cero no es ortogonal, podría ser paralela a los planos.
Si son paralelos, yo mandaría el punto que hace la distancia al cero de un plano, al que hace la distacia al cero del otro. Después, tomás los del subespacio asociado y los mandás en sí mismos.
Otra cosa, según me acaba de sugerir Exequiel, los cambios de base que hice antes se pueden evitar o por lo menos hacer más simples, ortonormalizando de entrada los subespacios de los planos, como los escribí, tomando a \(v_{1}\) como el primer vector para la ortonormalización con G.S.
pero la recta que pasa por el 0 y el puntoq ue realiza la distancia de un subespacio al 0 digo yo.. para mi esa TIENE que ser ortogonal al subespacio, pero no se me ocurre por que...
pero la recta que pasa por el 0 y el puntoq ue realiza la distancia de un subespacio al 0 digo yo.. para mi esa TIENE que ser ortogonal al subespacio
sisi, esa sí, pensé que decías que solo pasaba por el cero, perdón.
En fín, nose si mejoré o empeoré las cosas, pero trató de resumir, (agradezco que alguien corrija, y aclare 😛 )
Si no son paralelos, podemos hacer lo que dije la primera vez que respondí, solo que antes de definir la \(f\) como dije, ortonormalizas los subespacios asociados, usando al \(v_{1}\) como el primer vector para la ortonormalización por GS por ejemplo. Esto asegura que ese se va a mantener en la base ortonomal que obtengamos, con lo cual, vamos a poder definirlo como queremos. (como va de bon a bon, está asegurada que sea ortogonal).
Ahora, si son paralelos, tomás el punto \(q_{1}\), (que hace la distancia al cero de un plano), y lo mandás al \(q_{2}\), (que es el que hace la distancia al cero del otro plano). Después, tomás la base \(\{ q_{1} , h_{1} , h_{2} \}\), ( suponemos que \(h_{1}\) y \(h_{2}\) generan los subespacios asociados de los planos), y la ortonormalizas usando como primer vector a \(q_{1}\) , para que se mantenga cuando quede ortonormalizada, y saber a donde mandarlo. Los otros 2 vectores que te queden, los mandás en sí mismos.
Espero que se entiende lo que quise decir, y que esté bien. Avisen.
si, a mi me parece b ien lo que decis
yo en el caso de paralelos habia pensado asi:
busco una recta paralela a ambos (que existe siempre) que pase por el (0,0) o sea que equidista de ambos planos
esa recta es mi eje de rotación
así que los elementos de esa recta los mando a sí mismos
el punto que realiza la distancia de un plano lo mando al punto que realiza la distancia del otro
y un vector cualquiera de olos que generan el plano lo mando a otro cualquiera de los que generan el otro
pero no sé.. da igual eso?
este tema me confunde mucho
en el caso que decís vos.. que decís que agarras los vectores que generan el plano (ortonormalizados) y los mandas a los que generan el otro plano (ortonormalizados).. da igual cuál mande ne cual??
sobre lo de la base, creo que b asta con ortonormalizar la b ase del plano, y normalizar el vector que realiza la distancia, porque, jsutamente por lo que deciamos antes, esa recta uqe une el 0 y el punto que realiza la distancia siempre es ortogonal al subespacio..
bueno se entendió algo de lo que dije??
a mi también me gustaría que alguien me corrija j e
Si no son paralelos, podemos hacer lo que dije la primera vez que respondí, solo que antes de definir la \(f\) como dije, ortonormalizas los subespacios asociados, usando al \(v_{1}\) como el primer vector para la ortonormalización por GS por ejemplo. Esto asegura que ese se va a mantener en la base ortonomal que obtengamos, con lo cual, vamos a poder definirlo como queremos. (como va de bon a bon, está asegurada que sea ortogonal).
Me queda una duda sobre como completas la base, vos tenes \(v_{1}\) y \(w_{1}\) y la ortonormalizas, despues agregas un punto que pertenezca a la intersección (que despues lo mandas en si mismo) y que sea ortonormal a lo que te habia quedado?
En el ejercicio 3 del parcial, que habia que hacer una rotacion yo busque una bon y la mande a otra bon, pero tuve un error de cuentas, y me pusieron todo el ejericio mal, me dijieron que estaba mal encarado como estaba buscando las bases o algo asi
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
sobre lo edl parcial, vos habías mandado cualquie rbon a cualquier bon o habías encontrado la recta que cumpliera todo yblabla?
sobre el ejercicio... yo tampoco entiendo bein cómo ser haría, porque si hacés como dijo agustín, no pasaría que dejarías de mandar el plano en el otro plano? queirp decir, si te armas las bases lindas y despues las ortonormalizás con gram-schmidt.. no te estás asegurando de que mandes el plano en el plano, o si? si justamente lo que hace gs es proyectar cosas sobre otras cosas etc etc...
bueno creo que nadie enteindo esto ja
y ufa porque el del parcial me había salido y segurmaente el que tomen en el rec no jaja
Si, tienen razón. Lo volví a pensar, porque a mi tampoco me quedó claro, y se me ocurre esto, (diganme que piensan por favor):
Tengo:
\(\pi_{1} = \left< v_{1} , v_{2} \right> + p_{1}\) , ( \(p_{1}\) es el punto que hace la distancia al cero de \(\pi_{1}\) ) .
\(\pi_{2} = \left< v_{1} , w_{2} \right> + p_{2}\) , ( \(p_{2}\) es el punto que hace la distancia al cero de \(\pi_{2}\) ) .
Si, porque mandaste una bon a una bon(ortogonal), y mandaste un plano al otro. Acordate del esquema, Agustín. Saludos.
PD: pasará un rato hasta que me vuelva a amigar bien con el número primo 3.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Agustín, vos solo ortnormalizas v1 y v2 porque los puntos que hacen la distancia al plano siempre son perpendiculares a tu variedad, por lo que no hay que preocuparse por ellos?
(la distancia al cero de ambos planos es la misma, si no, no es ortogonal?)
porque son los puntos que hacen la distancia a los respectivos planos, o sea, se encuentran sobre la recta ortogonal a cada plano respectivo que pasa por el origen. Por eso solo hace falta normalizarlos.
yo solo quiero decir que eso que acaba de decir exequiel, en el parcial, lo demostre usando pitagoras, jajaja.
mi propuesta para planos que intersecan es la siguiente:
calculo la intersección, y mando su vector director en sí mismo (normalizado)
busco un vector de cada planoq ue sea perpendicular a la intersección, y los mando uno en el otro (normalizados)
por último busco dos vectores más, ambos perpendiculares a la intersección, y uno perpendicular al vector elegido en 2) de cada plano. Los mando uno en el otro (normalizados). (para hacer esto, al menos lo que hice en el parcial fue buscar el planoq ue los contiene a ambos y calcularle el complemento ortogonal. sino podría hacerse la trampita del producto vectorial, o sencillamente calcularlo a ojo)
así me aseguro de haber mandado una bon en una bon, y de que el plano vaya ne le plano (porque la intersección más los vectores de 2) me dan una base de cada plano, y las mandé una en la otra)
ahora, ahciedno esto nunca uso el vector que realiza la distancia... por lo que me suena que algo mal debe haber, qué es?
ay,ya sé lo que es. que así no mando el plano en el plano sino que lo hago con planos paralelos a los dados que pasan por el cero, no??
bueno, pero como el punto que realiza la distancia siempre es ortogonal a los planos y por lo tanto a las rectas contenidas en el, blabla, en vez de buscar un tercer vector cualquiera uso el que realiza la distancia , que lo cumple, y ya 🙂
Gracias a todos, creo que me quedo bastante claro el tema.
Solo una duda, simetrias: es básicamente hacer lo mismo que con las rotaciones, mandar una variedad lineal a otra, viendo que la transformacion sea ortogonal, pero despues chequeo que cumpla con la definicion de simetria, ninguna precaución que deba tomar en el medio?
Rotación de dos planos paralelos y simetria de estos planos, no sería lo mismo?
yo creo que en simetría sí conviene buscar el plano de simetría
igual, no siempre existe la simetría entre dos variedades.. lo que no estoy muy segura es qué tiene que pasar para que exista (además de que se cumpla que estén a la misma distancia del 0)
pero entre dos planos que se cortan, tomás como plano de simetría el plano que contiene a la intersección y al 0
entre dos planos paralelos deberías tomar supongo un tercer plano paralelo que contenga al 0
lo mismo para dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan
Si tenés dos planos paralelos, el plano de simetría es un plano paralelo a los dos planos. Ortonormalizás esos vectores, calculás el complemento otogonal, y lo que hacés es fijar sobre ese plano todos los puntos, y al complemento ortogonal lo mandás cambiándole el signo.
Si se cortan los dos planos, como decís, tomando el complemento ortogonal terminás de definir la simetría.
Si dos rectas son alabeadas... notar que no existe ningún plano que las contenga simultáneamente.
PD: ¿qué me hago el que se, si para mi \(\{(1,-1,1),(1,1,0),(0,1,1,)\}\) era una base ortogonal en el parcial? Después me quejo que no me dan las cuentas...