2° parcial 1° cuat 2014.

Hola, les dejo el parcial que se tomó hace poco. Se les ocurre alguna idea para encarar el 2 a?

Saludos!

Acordate que la dimensión del núcleo es la multiplicidad del 0 como raíz del característico.

Perdón, pero esto está maaal muy maaal. Flashée cualquiera. Lo que si es cierto es que hay una cota. La multiplicidad del 0 como raíz del característico es mayor o igual a la dimensión del núcleo (probarlo). Creo que igual se puede arreglar para que ande.

Claro, entonces faltaría ver porque la traza es el otro autovalor. Ya sabemos que 0 tiene multiplicidad n-1. Como el característico tiene grado n, estamos buscando una raíz simple. Además, seguro el auto espacio asociado a ese autovalor es >= 1. Osea, es diagonalizable?. Si fuese así, como la matriz es semejante a otra diagonal con un uníco autovalor distinto de 0, y como los característicos coinciden en distintas bases, viendo el caracteristico de la matriz diagonal, sale que la traza es raíz. Luego, la traza es la misma que la matriz A original.
Tiene sentido lo que digo? No estoy muy seguro
Me di cuenta que eso valdría en C, pero no en R creo :S. Porque esa raíz podria ser compleja

tiene un poco de sentido pero hay varias cosas que están mal

Bueno, lo que me di cuenta era que no tenia que ser diagonalizable. No se que otra cosa mas había mal.
Me di cuenta que el coeficiente del termino de grado n-1 siempre es la tr(A). ( esto lo vimos en la teórica). Entonces, 0 es raíz de multiplicidad n-1, y la otra raíz tiene que ser la traza. No queda otra, por la proposición anterior. No?
Bueno, y después para el b). Si la traza es 0, la matriz es ni potente y la forma de Jordán debe tener n-1 bloques. Uno de tamaño 2.
Si la traza es otra cosa, sabemos que al menos debe existir un bloque de tamaño 1 de este autovalor. Esto ya aportaría uno al rango, osea que el resto deberían ser todos bloques de tamaño 1 de autovalor 0.
Ahora tiene mas sentido? Baja
Saludos y gracias por la ayuda!

Fijate que lo que había dicho antes era pura fruta. Una forma más elegante para resolver el ejercicio es usar que una matriz de rango 1 es de la forma \(u\times v\) para u un vector
columna y v un vector fila y después hacer algún truquito.

En el 5 cómo se puede usar Jordan para resolverlo??

Fijate que cuando tenes una matriz de jordan tenes una matriz por bloques, entonces cuando multiplicas o sumas queda todo dentro de cada bloque, entonces todo se reduce a que agarres cada bloque de A, ponele que agarro uno y lo llamemo J(A), y te fijes si \(-J(A)\) es semejante a \((J(A))^2\)