Primer Parcial 8/10/13

1. Dados los subespacios \(S = \left \{ P \ \mathbb{R}_3 [X] / P(1) = 0 \ y \ P'(1)=0 \right \}\) y \(T = \left \langle X^3 +2X^2 -6X, 3X^3 - 8X^2 +6X+2 \right \rangle\)
   Hallar un subespacio \(W \subseteq \mathbb{R}_3 [X], \ W \neq T\), de manera que se verifique simultaneamente que:

2.Sean \(S\) y \(T\) los subespacios de \(\mathbb{R}^3\) dados por:
\(S = \left \langle (1,2,2),(2,a,2),(3,2,4) \right \rangle\) y \(T = \left \{ (x_1,x_2,x_3) : x_1-x_2+bx_3 =0 \ y \ 2x_1 -bx_2 +4x_3 =0 \right \}\)

(a) Hallar todos los valores de a y b para los que existen bases \(B \ y \ B'\) de \(\mathbb{R}^3\) y una transformacion lineal \(f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) tal que \(Nu(f) = T, \ Im(f)=S\) y

(b)Para alguno de los valores de a y b hallados en el item anterior. encontrar una transformacion lineal \(f\) y bases \(B \ y \ B'\) que satisfagan lo pedido

3.Sea \(B' = \left \{\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 \right \}\) una base de \((\mathbb{R}^3)^*\) y sean \(v_1,v_2,v_3 \ y \ v_4\) vectores de \(\mathbb{R}^3\) tales que verifican simultaneamente las siguientes condiciones:

(a) Calcular la dimension del subespacio \(\left \langle v_1,v_2,v_3 \right \rangle\) y probar que \(\left \{ v_1,v_2,v_4 \right \}\) es base de \(\mathbb{R}^3\)
(b) sea \(B = \left \{ w_1,w_2,w_3 \right \}\) una base de \(\mathbb{R}^3\) tal que \(B^* = B'\). Calcular las coordenadas de \(v_2\) en base \(B\) sabiendo que \(\varphi_2(v_2) =1\)

4. Sean \(a,b \in \mathbb{R}\) tales que \(3a^2 -2ab +5a +13b >0\). Probar que la matriz

5. Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial de dimension finita. Sea \(w \neq 0\) en \(V\) y \(\varphi \in V^* , \ \varphi \neq 0\) tal que \(\varphi(w)=0\).
   Definimos \(f: V \rightarrow V\) de la siguiente manera:

(a) Probar que \(f\) es una transformacion lineal. Mas aun, probar que \(f\) es un isomorfismo.
(b) Probar que existe una base \(B = \left \{v_1, _{\cdots } v_n \right \}\) de \(V\) tal que se verifica \(f(v_1) = v_1 + v_2\), \(f(v_i) = v_i \ \forall i = 2_{\cdots} n\)

Alguna idea para el 3 que es el unico que no pude hacer

3. a)\((S+T)^{\circ} = S^{\circ} \cap T^{\circ}\)
   3)b)Tenias 2 subespacios con 3 funciones q en conjunto anulaban a v2, y con el dato q te dan podias plantear un sistema de 2 ecuaciones y 2 incognitas

Cuanto te dio la dim en el 3a? Como probas que es base?

Una pregunta, sobre el ejercicio 2.
Yo sé que cuando tengo una matriz asociada a una transformación lineal en la base canónica, el rango de esa matriz me determina la dimensión de la imagen de mi transformación lineal.
Ahora mi pregunta es, si yo tengo la matriz de una transformación lineal pero en otras bases, el rango de esa matriz también me va a determinar la dimensión de la imagen?
O sea, en este caso, rg (|f|BB') = 2, entonces puedo afirmar que la Dim(Im(f)) = 2 o no?

Gracias!

Si