La idea del siguiente post es dar una lista de definiciones y propiedades útiles a la hora de resolver un dado ejercicio teórico-práctico. Esta primera parte cubre la práctica I. Además, el resumen está basado en las clases teóricas de Gabriela Jerónimo y en resultados expuestos en las prácticas. Ahora, sin más interrupciones, el resumen:
Definición: sea \((K,+,\cdot)\) un cuerpo, \(V\) conjunto no vacío, \(+\) una operación en \(V\) y \(\cdot\) una acción de \(K\) en \(V\). Se dice que \((V,+,\cdot)\) es un \(K\)-espacio vectorial si:
i)\((V,+)\) es un grupo abeliano
ii) La acción \(\cdot :K\times V\rightarrow V\) cumple
a- \(a\cdot (v+w)\eq=a\cdot v+a\cdot w,\forall a\in K,\forall v,w\in V\)
b- \((a+b)\cdot v\eq=a\cdot v+b\cdot v,\forall a,b\in K,\forall v\in V\)
c- \(1\cdot v\eq=v,\forall v\in V\)
d- \((a\cdot b)\cdot v\eq=a(b\cdot v),\forall a,b\in K,\forall v\in V\)
Los elementos de \(V\) se llaman vectores y los de \(K\) se llaman escalares. La acción \(\cdot: K\times V\rightarrow V\) se llama producto por un escalar.
Para todo \(V\), un \(K\)-espacio vectorial, se verifica:
-\(k\cdot \overline{0}\eq=0,\forall k\in K\)
-\(0\cdot v\eq=0,\forall v\in V\)
-\(k\cdot v\eq=0\iff k\eq=0\lor v\eq=0\)
-\(-(-v)\eq=v,\forall v\in V\)
-\(-\overline{0}\eq=\overline{0}\)
Definición: Sea \((V,+,\cdot)\) un \(K\)-espacio vectorial. Un subconjunto \(S\subseteq V\) no vacío es un subespacio de \(V\) si la suma \(+\) y el producto por escalares \(\cdot\) son una operación en \(S\) y una acción de \(K\) en \(S\) que lo convierten en un espacio vectorial.
Propiedad: Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, y \(S\subseteq V\). Luego, \(S\) es un subespacio de \(V\) si y sólo si:
i) \(0\in S\)
ii) \(v,w\in S\implies v+w\in S\)
iii) \(k\in K,\;v\in S\implies k\cdot v\in S\)
Propiedad: sean \(S,T\subseteq V\), donde \(V\) es un \(K\)-espacio vectorial, y \(S,T\) subespacios vectoriales de \(V\). Entonces \(S \cap T\) es un subespacio vectorial de \(V\)
Propiedad: sean \(S,T\subseteq V,\), donde \(V\) es un \(K\)-espacio vectorial, y \(S,T\) subespacios vectoriales de \(V\). Entonces \(S \cup T\) es un subespacio vectorial de \(V\iff T\subseteq S\lor S\subseteq T\).
Definición: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(I\) un conjunto de índices, \(G\eq=\{{v}_{i}:i\in I\}\). Una combinación lineal de \(G\) es un elemento de \(v\in V\) tal que \(v\eq=\sum_{i\in I}{\alpha}_{i}\cdot {v}_{i},\;{\alpha}_{i}\in K,\;{\alpha}_{i}\eq=0\) salvo para finitos \(i\in I\)
Definición: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(G\subseteq V\), se dice que \(G\) es un sistema de generadores si todo elemento de \(V\) es una combinación lineal de \(G\), y se nota \(V\eq=\left \langle G \right \rangle\).
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, y \(S\subseteq V\), subespacio. Sea \(\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{r}\}\subseteq V\). Entonces vale \(\left \langle {v}_{1},\cdots , {v}_{r}\right \rangle \subseteq S\iff {v}_{i}\in S,\forall 1\leq i\leq r\)
Corolario: Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, y sea \(\{{v}_{1},\cdots , {v}_{n},{v}_{n+1}\}\subseteq V\). Entonces \(\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{n},{v}_{n+1}\right \rangle \eq=\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle \iff {v}_{n+1}\in \left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle\)
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \({v}_{1},\cdots , {v}_{n}\in V,\alpha \in K-\{0\},\beta\in K\).
i)\(\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \right \rangle \eq= \left \langle {v}_{1},\cdots , {v}_{j},\cdots {v}_{i},\cdots , {v}_{n} \right \rangle\) (o sea, el orden de los vectores no varía el subespacio generado).
ii)\(\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle \eq=\left \langle {v}_{1},\cdots \alpha {v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle\).
iii)\(\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots {v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \right \rangle\eq= \left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i}+\beta \cdot {v}_{j},\cdots ,{v}_{j}, \cdots ,{v}_{n} \right \rangle\)
Definición: Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, y sea \(\{{v}_{i}\}_{i\in I}\) una familia de vectores de \(V\). Se dice que \(\{{v}_{i}\}_{i\in I\}\) es linealmente independiente(l.i) si se verifica \(\sum_{i\in I}{\alpha}_{i}{v}_{i}\eq=0,{\alpha}_{i}\in K\implies {\alpha}_{i}\eq=0,\forall i\in I\).
Si \(\{{v}_{i}\}_{i\in I\}\) no es linealmente independiente, decimos que es linealmente dependiente(l.d)
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, y \({v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\in V\). Entonces \(\{{v}_{i}\}_{1\leq i\leq n}\) es l.i \(\iff \left \langle{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\right \langle \supset \left \langle {v}_{1},\cdots {v}_{i-1},{v}_{i+1},\cdots , {v}_{n}\right \rangle ,\forall i\)(saco el \(i\)-ésimo vector del conjunto, en el orden dado).
Propiedad: sean \({v}_{1},\cdots , {v}_{n}\in \mathbb{R}^{n}\). El conjunto \(\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\}\) es linealmente independiente sobre \(\mathbbb{R}\iff \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\}\) es linealmente independiente sobre \(\mathbb{C}\)
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \({v}_{1},\cdots , {v}_{n}\in V,\alpha \in K-\{0\},\beta\in K\).
i)\(\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \\}\) es l.i \(\iff \{ {v}_{1},\cdots , {v}_{j},\cdots {v}_{i},\cdots , {v}_{n} \}\) es l.i (o sea, el orden de los vectores no varía la independencia lineal).
ii)\(\{ {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\}\) es l.i \(\iff \{ {v}_{1},\cdots \alpha {v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\}\) es l.i.
iii)\(\{ {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots {v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \}\) es l.i \(\iff \{ {v}_{1},\cdots ,{v}_{i}+\beta \cdot {v}_{j},\cdots ,{v}_{j}, \cdots ,{v}_{n} \}\) es l.i
Propiedad: si tenemos \(\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{r}\} \in {K}^{n}\), podemos construir la matriz \(M\in {K}^{r\times n}\) que tiene a los \({v}_{i}\) por filas,
Definición: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial. Una familia \(\{{v}_{i}\}_{i\in I}\) es una base de \(V\) si \(\{{v}_{i}\}_{i\in I}\) es linealmente independiente y \({\left \langle {v}_{i} \right \rangle }_{i\in I}\eq=V\).
Para espacios vectoriales \(V\), como \({K}^{n}\), una base usual y úitl para considerar es la base canónica, \(E\eq=\{{e}_{1},\cdots ,{e}_{n}\}\), donde \({e}_{i}\eq=(\underbrace{0,\cdots ,1}_{i},0,\cdots ,0)\). De manera análoga, se definen las bases para \({K}^{n\times n}\), y para \({K}_{n}[X]\), para esta última, particularmente, \(E\eq=\{1,X,{X}^{2},\cdots ,{X}^{n}\}\). La base canónica suele notarse con la letra mayúscula \(E\). En otros casos, se usará la letra \(B\) para notar una base.
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial finitamente generado. Luego, existe una base \(B\) de \(V\).
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial finitamente generado. Luego, si \(B\eq=\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\},B'\eq=\{{v'}_{1},\cdots ,{v'}_{m}\}\) son bases de \(V\), la cantidad de elementos de ambas son iguales, o sea, \(n\eq=m\).
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, de dimensión finita. Sea \(\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\}\) base de \(V\). Entonces para cada \(v\in V\), existen únicos escalares \({\alpha}_{1},\cdots ,{\alpha}_{n}\in K\) tal que \(v\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}{\alpha}_{i}\cdot{v}_{i}\).
Definición: sea \(S\subseteq V\), un subespacio vectorial de \(V\), un \(K\)-espacio vectorial. Si \(B\eq=\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{r}\}\) es una base de \(S\), definimos la dimensión de \(S\) en \(K\), y la notamos \({dim}_{K}(S)\), al cardinal de \(B\). En este caso, \({dim}_{K}(S)\eq=r\). Cuando se de por conocido \(K\), simplemente notaremos \(dim(S)\).
Diremos que un espacio vectorial \(V\) tiene dimensión finita si la base de \(B\) tiene cardinal infinito, o sea, \(dim(S)\eq=r\in \mathbb{N}\).
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, de dimensión finita.
i) Sea \(\{{v}_{1},\dots ,{v}_{s}\}\) un sistema de generadores de \(V\). Entonces, existe \(B\subseteq \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{s}\}\) tal que \(B\) es base de \(V\).
ii) Sea \(\{{w}_{1},\cdots ,{w}_{s}\}\) un conjunto l.i de \(V\). Entonces, existe \(\{{w}_{s+1},\cdots ,{w}_{n}\}\) tal que \(\{{w}_{|},\cdots ,{w}_{s},{w}_{s+1},\cdots ,{w}_{n}\}\) es base de \(V\).
Propiedad: sean \(S,T\subseteq V\), subespacios, y \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, de dimensión finita. Entonces se verifican:
i)\(S\subseteq T\implies dim(S)\leq dim(T)\)
ii)\(S\subseteq T,\;dim(S)\eq=dim(T)\implies S\eq=T\)
Definición: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(S,T\) subespacios de \(V\). Se llama suma de \(S\) y \(T\) a \(S+T\eq=\{v\in V:v\eq=s+t,s\in S,t\in T\}\)
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(S,T\) subespacios de \(V\). Valen:
i)\(S+T\) es un subespacio de \(V\).
ii)Si \(\{{v}_{i}\}_{i\in I},\;\{{w}_{j}\}_{j\in J}\) sistemas de generadores de \(S,\;T\) respectivamente. Entonces \(\{{v}_{i}\}_{i\in I} \cup \{{w}_{j}\}_{j\in J}\) es sistema de generadores de \(S+T\)
Propiedad(Teorema de la dimensión para la suma de subespacios): sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial de dimensión finita, y \(S,T\subseteq V\) subespacios de \(V\). Entonces se verifica \(dim(S+T)\eq=dim(S)+dim(T)-dim(S \cap T)\).
Definición: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(S,T\subseteq V\), subespacios. Decimos que \(V\) es suma directa de \(S\) y \(T\), y lo notamos \(S\oplus T\eq=V\), si se verifica:
i)\(S+T\eq=V\)
ii)\(S \cap T\eq=\{0\}\)
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(S,T\subseteq V\), subespacios, y \(S\oplus T\eq=V\). Sean \({B}_{S},{B}_{T}\) bases de \(S,T\) respectivamente. Entonces \({B}_{S} \cup {B}_{T}\) es base de \(S\oplus T\).
Propiedad: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(S,T\subseteq V\), subespacios, y \(S\oplus T\eq=V\). Entonces, para cada \(v\in V\)existen únicos \(s\in S,t\in T\) tales que \(v\eq=s+t\).
Definición: sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(S\subseteq V\), subespacio. Decimos que \(T\) es un complemento de \(S\) en \(V\) si \(S\oplus T\eq=V\). Para construir un complemento de un subespacio \(S\), basta tomar una base de \(S\), y extenderla a una base de \(V\), y luego, formar la base del complemento a partir de los vectores agregados.
Bueno, espero que esta primera parte ayude... si bien tuve que haber estado antes del primer parcial... saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities