Parciales

Para el que quiera practicar mas (si, todavia mas ...)
www.encuestasexactas.com.ar/parcial2.pdf
www.encuestasexactas.com.ar/recup1.pdf
www.encuestasexactas.com.ar/recup2.pdf

Tengo muchos problemas con los links, asi que avisenme si no andan.

Definitivamente de los mejores parciales de álgebra lineal(sin cuentas)... al del segundo recuperatorio no había tenido acceso. Ahora miro y veo si posteo alguno(claro está, de salir o de haber ganas suficientes...)

Hola hola,
hice el problema 1 del segundo parcial del primer cuatrimestre del 2007 (el primer link)
Lo posteo para chequear, nose si es medio trucho lo que hice:
Yo me mande directamente a calcular la forma de Jordan para A, despues de algunos intentos llegue a que tiene un bloque de 30x30, uno de 12x12 y otro de 8x8.
El nucleo de eso es 3 (tiene solo tres columnas de ceros, el resto tiene unos), a medida que voy elevando la matriz, cada bloque me agrega 1 a la dimensión del nucleo (agrega una nueva columna de ceros) hasta que se me acaba el bloque, asi se puede ver como las otras dimensiones requeridas se cumplen
Por lo tanto n=50
Esto es muy parecido a lo que escribiria en el parcial, se que la idea esta bien porque me la dijo una ayudante de la práctica, pero parece medio chamuyo escrito asi, nose como "formalizarlo"
Me falto una parte del ejercicio

Muchas gracias

Yo lo justificaria asi:
Uno sabe que el grado del minimal es el tamaño del bloque mas grande, asi que ya se que tiene que haber al menos un bloque de 30x30. Ahora yo se que \(dim Ker (A^{20})-dim Ker(A^{10})=12\) como las dimensiones de los nucleos suben 1 por bloque la unica forma que se de la igualdad anterior es que en \(A^{10}\) y \(A^{11}\) haya 2 bloques (porque 20-10=10 y 12-10=2) y despues haya uno solo. Entonces tiene que haber un bloque de 12x12 y solo 1 de 30x30. Como el nucleo de A tiene dimension 3 tiene que haber 3 bloques de Jordan en A, solo nos falta uno, digamos que de axa, pero sabemos que en \(A^20\) queda un solo bloque (el de 30x30) y que a esta altura le quedan solo 10 unos. Como el nucleo tiene dimension 40, sale que n es 50 y despejando (50-30-12=8) sale que a es 8.
Para las formas de jordan de \(A^2\) y \(A^3\) vos sabes cual es el minimal y la dimension de los nucleos, no debe ser muy complicado deducir de forma parecida sus formas de Jordan
(si no me equivoco \(A^2\) tenia 2 bloques de 15, 2 de 6, y 2 de 4)

Editado 2 veces.

Uh muchas gracias
Lo que no veo es lo de los minimales y los nucleos para la segunda parte

Vos sabes que \(m_A=x^{30}\), llamemos \(B=A^2\) es claro que \(m_B=x^{15}\)
Ademas \(dim\ Ker(B) =6\) entonces B tiene 6 bloques y el mas grande tiene tamaño 15. Ahora miras las dimensiones de los nucleos de \(B^2=A^4, B^3, B^4, B^5, ...\) que dan 12,18,24,28,...
Entonces detectas que en B^5 hay dos bloques menos (porque si no daria 30), luego B tiene dos bloques de tamaño 4. Seguis inspeccionando esas dimensiones y te das cuenta del resto de los datos.

Uhhh capte todo, muchas gracias

telefono escribió:

Hola hola,
hice el problema 1 del segundo parcial del primer cuatrimestre del 2007 (el primer link)
Lo posteo para chequear, nose si es medio trucho lo que hice

Quimey escribió:

Yo lo justificaria asi:

Menos mal que lo postearon, yo también tenía la duda de como justificarlo, porque lo había visto y todo, pero quedaba como mucho texto cuando justificaba.

Bueno, dejo la idea del 2do:
Basta hallar la forma de Jordan de \(A\) .
Si \(C^{-1} \cdot A \cdot C = J_{A}\) . Ahora, te va a quedar \(J_{A}\) con la pinta:

Chequear que todo ande y listo.

Quimey escribió:

Yo lo justificaria asi:
Ahora yo se que \(dim Ker (A^20)-dim Ker(A^10)=12\) como las dimensiones de los nucleos suben 1 por bloque la unica forma que se de la igualdad anterior es que en \(A^10\) y \(A^11\) haya 2 bloques (porque 20-10=10 y 12-10=2) y despues haya uno solo.

perdon pero no entiendo por q pasaria todo eso...o sea por q no ocurre lo mismo por ejemplo entre \(A^12\) y \(A^13\)

no entiendo la pregunta, podes ser un poco mas especifico

porq entre \(A^{10}\) y \(A^{11}\) hay dos bloques....o sea, loq yo veo es como q tengo q "distribuir" 12 dimensiones en 10 nucleos, jeje o algo asi

Cuando miras las potencias de un bloque de jordan nilpotente los unos de abajo de la diagonal van bajando. Con cada potencia la dimension del nucleo sube 1 hasta que en un momento ya te da 0 y no sube mas, aplicando este razonamiento a la matriz A que puede tener muchos bloques vos sabes que por cada bloque la dimension del nucleo sube en 1, pero en algun momento los bloques empiezan a anularse, entonces los saltos en las dimensiones de los nucleos van bajando.
Proba hacer a mano un ejemplo, con una matriz de 5x5 que tenga un bloque de 3x3 y uno de 2x2, fijate como te van quedando las potencias y en particular las dimensiones de los nucleos, deberian ser algo asi:
2,4,5,5,5,5
Venian saltando de a 2 hasta que murio el bloque de 2x2, despues salto de a 1 hasta que murio el de 3x3 y despues se estanco. Lo que yo digo es que esto pasa siempre

En algun momento dije que los parciales de este año eran muy complicados.

Hice recièn los 2dos parciales y me rectifico.

Los primeros no me gustaron, pero los segundos si, me pareceieron muy buenos, nada que ver a los del año pasado que un ejercicio pedìa calcular una matriz que implicaba UNA inversión y DOS matrices de cambio de base, más dos multiplicaciones de matrices. Y no olvidemos... escribir la forma de Jordan que implica calcular el minimal, el característico etc... Espero que mañana no sea asi

Suerte