Sean \(R, Q \in {K}_{[x]}\) dos polinomios. Sean \(S,T\) los siguientes subconjuntos de \({K}_{[x]}\)
$$S = \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ Q \vert P \rbrace$$
$$T = \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ R \vert P \rbrace$$
\(i)\) Probar que \(S\) y \(T\) son subespacios de \({K}_{[x]}\)
\(ii)\) Calcular \(S + T\) sabiendo que \((Q : R) = 1\) (donde \((Q : R)\) denota al máximo común divisor entre \(Q\) y \(R\)) ¿Y si \((Q : R) = d\)?
\(iii)\) Calcular \(S \cap T\) sabiendo que \([Q : R] = e\) (donde \([Q : R]\) denota al mínimo común múltiplo entre \(Q\) y \(R\))
Decidir cuando la suma del inciso \(ii)\) es directa.
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
Soluciones:
$$i)$$
Lo hago para \(S\), la de \(T\) es análoga. Hay que verificar 3 cosas:
-
\(0 \in S\)
-
Sean \(f,g \in {K}_{[x]}\) tales que \(f,g \in S \Rightarrow f + g \in S\)
-
Sean \(k \in K\) y \(f \in {K}_{[x]}\) tal que \(f \in S \Rightarrow kf \in S\)
-
\(0 \in S\) pues el polinomio nulo es dividido por cualquier polinomio de \({K}_{[x]}\) (en particular por \(Q\))
\(0 = 0 . Q\) Luego \(Q \vert 0 \Rightarrow 0 \in S\)
-
si \(f,g \in S \Rightarrow Q \vert f\) y \(Q \vert g\) Luego \(Q \vert f+g \Rightarrow f+g \in S\)
-
si \(f \in S \Rightarrow Q \vert f \Rightarrow Q \vert kf \Rightarrow kf \in S\)
$$ii)$$
Como \(Q\) y \(R\) son coprimos entonces el polinomio \(1\) se escribe como combinación lineal entera de \(Q\) y \(R\). Es decir, \(\exists f,g \in {K}_{[x]}\) tales que \(1 = f.Q + g.R\)
Sea \(P \in {K}_{[x]}\). Entonces \(P = P.f.Q + P.g.R\) donde \(P.f.Q \in S\) y \(P.g.R \in T\)
Luego \({K}_{[x]} = S + T\)
Si lo escribimos de otro modo, se puede pensar que \(S + T = \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ 1 \vert P \rbrace = {K}_{[x]}\)
Es natural pensar entonces que si \((Q : R) = d\) se tiene que \(S + T = \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ d \vert P \rbrace\)
\(\subseteq )\) Sea \(P \in S + T\) entonces \(P = P_1 + P_2\) con \(P_1 \in S, P_2 \in T\)
Luego \(P_1 = f.Q\) y \(P_2=g.R\) Por lo que \(P\) se escribe como combinación lineal entera de \(Q\) y \(R\)
Luego \(P = f.Q + g.R\) Como \(d \vert Q\) y \(d \vert R \Rightarrow d \vert f.Q\) y \(d \vert g.R\) Entonces \(d \vert f.Q + g.R = P\)
$$d\vert P \Rightarrow P \in \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ d \vert P \rbrace$$
\(\supseteq )\) Sea \(P \in \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ d \vert P \rbrace \Rightarrow P = h.d\)
Como \((Q : R) = d\) entonces \(d\) se escribe como combinación lineal entera de \(R\) y \(Q \Rightarrow d = f.Q + g.R\)
Multiplicando por \(h\) se tiene que \(P = h.d = h.f.Q + h.g.R\) donde \(h.f.Q \in S\) y \(h.g.R \in T\)
Entonces \(P \in S+ T\)
$$iii)$$
Siguiendo con la idea del inciso \(ii)\) se podría pensar que \(S \cap T =\lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ e \vert P \rbrace\)
\(\subseteq )\) Sea \(P \in S \cap T \Rightarrow P \in S\) y \(P \in T \Rightarrow Q \vert P\) y \(R \vert P \Rightarrow e \vert P\)
Luego \(P \in \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ e \vert P \rbrace\)
\(\supseteq )\) Sea \(P \in \lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ e \vert P \rbrace\) se tiene entonces que:
\(Q \vert e\) y \(e \vert P \Rightarrow\) (por transitividad, dado que es una relación de equivalencia) \(Q \vert P \Rightarrow P \in S\)
\(R \vert e\) y \(e \vert P \Rightarrow R \vert P \Rightarrow P \in T\)
Entonces \(P \in S \cap T\)
Luego \(S \cap T =\lbrace P \in {K}_{[x]} \ / \ e \vert P \rbrace\) y la suma es directa en \(ii)\) sí y sólo sí \([Q : R]=0\)
Es decir \(Q=0\) ó \(R=0\)