Posteo la demo hecha por Carlos Sànchez (en realidad mi apunte) porque tengo una duda
El teorema dice: " Si f es un endomorfismo sobre V y \(\chi_f\) su polinomio caracterìstico, entonces \(\chi_f(f)=0_V\)
Demo
Si elegimos una base \(B=\{v_1,...,v_n\}\) de V y además \(A=\vert f\vert_B\) entonces \(\chi_f=det(xI-A)\Rightarrow\chi_f(f)=det(f.I-A)=det(\delta_{ij}f-a_{ij}I_v)\)
Se propone entonces probar que \(X_f(f)(v_k)=0\) Para todos los \(v_k\) vectores de la base B, es decir que \(X_f(f)\) se anula sobre una base. Luego serà \(X_f(f)=0\) como querìamos.
Entonces, adoptando la notación \(E=(\delta_{ij}f-a_{ij}I_v)=e_{ij}(\) se propone calcular, para un ìndice j cualquiera:
Si \(D=(d_{ij}\) es la matriz adjunta de \(E^t\) se tiene por propiedad de adjunta que
\(D.E^t=det(E^t).I_n=det(E).I_n\) O sea que \(D.E^t\) es una matriz escalar
Si k es un ìndice cualquiera entonces:
\(d_{kj}(\sum_{i=1}^{n}e_{ij}(v_i))=0\) por lo de antes, entonceS:
Luego queda que \(\sum_{i=1}^n(D.E^t)_{ki}(v_i)=0\) De aquì sobrevive el tèrmino k-èsimo por ser D.E^t una matriz escarlar , entonces:
\(detE(v_k)=0\Rightarrow detE=0\) como qerìamos.
Tengo una duda en el paso \(\sum_{i=1}^n(D.E^t)_{ki}(v_i)=0\), es decir, cómo llega a eso. Hay un subìndice (ki) un poco confuso, que entiendo que quiere decir la columna k-esima del producto D.E^t, puesto que k es un ìndice cualquiera e i el que se mueve. ¿ayuda?
porque \(\chi_f(x)\) es un polinomio , pero cuando uno hace \(\chi_f(f)\) es decir, especializa f en \(\chi_f\) te quedan operaciones entre endomorfismos. El delta sub ij anula todo, excepto los valores de la "diagonal" (o sea con i=j) Y el I sub v es el endomorfismo idéntico
se entiende? Es medio complicado de entender al principio... te aconsejo sino que pienses en el polinomio ya desarrollado y cómo quedaría cuando lo especializas en f. yo lo hice a mano para caer.
Hola gente revivo este post xq me surgió una duda similar
no entiendo q hace acá:
Entonces adoptando la notación \(E=(\delta_{ij}f-a_{ij}I_v)=e_{ij}\) se propone calcular, para un ìndice j cualquiera:
$$\sum_{i=1}^{n}e_{ij}(v_i)=...$$
No entiendo q hace en ese último paso
osea evalua un vector (?) la base(?) en la matriz de funciones(?)
Osea los pasos mal q bien los sigo pero no tengo ni la más pálida idea de q es lo q hace si alguien me puede ayudar estoy tremendamente agradecido.
Desde ya muchas gracias.
Tengo la misma duda de notación de danielito. La única forma que veo de que sea \(\delta_{i, j} f\) es si consideramos que ese determinante es de una matriz de endomorfismos, lo cual es bastante extraño para mi. Quizás es solo un tema de notación que no estoy acostumbrado.
Una prueba que me parece se entiende mejor es la que está en el apunte de Jerónimo, Sabia, y Tesauri (acá, página 148). Muestra que todos los minimales de los vectores de una base dividen al característico.
Si alguien puede aclarar esa notación (y el resto de la prueba de paso 😉), será agradecido 🙂
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Para mí, es una matriz de endomorfismos y es como poner la función en toda la matriz y es la función si está en la diagonal y es 0 en otro lado, si es así la duda es como evaluas un vector en una matriz de endomorfismos entre otras. Tmb leí la demostración de Hamilton Cayley del apunte de jeronimo sabia y tesauri y está bueno al menos lo entiendo. Lo q tiene de bueno la demostración de Sanchez es que no necesitas definir el minimal ni nada lo tira casi al principio y no tenés q aprenderte más o menos de memoria un determinante. Así q bueno si alguien conoce algún libro o página donde lo demuestre así con endomorfismos y nos puede dar una mano bienvenido sea. Igual gracias por el dato FJL.
sALUDOS!!.