Práctica 7 - Ejercicio 16d - Ideales izquierdos de anillos

Hola!

El ejercicio pide caracterizar ideales a izquierda de \(A = M_n(k)\), con \(n \in \mathbb{N},\) \(k\) un cuerpo. De esos, pregunta cuales son maximales, y que "dé una lista completa de representantes de los \(A\)-módulos a izquierda simples", que la verdad no sé qué significa :s

Sé que si tengo \(M_n(R)\), los ideales biláteros están en biyección con los ideales biláteros de \(R\). Esto me resolvería al toque el ejercicio, porque \(k\) cuerpo no tiene ideales biláteros no triviales. Pero me piden los a izquierda, no biláteros.

Buscando un poco, encontré que son todos de la forma "matrices cuya \(k\)-ésima columna tiene todos coeficientes en \(I\)", para algún ideal \(I\) de \(R\) (es claro cómo seguir desde acá, por lo visto antes sobre cuerpos e ideales). Es claro que todas las cosas de esta forma son ideales a izquierda, pero cómo pruebo que estos son todos? Y qué es eso de "lista completa de representantes de los \(A\)-módulos a izquierda simples"?

Saludos y gracias!

EDIT: Ah, y vi algo de que \(R\) y \(M_n(R)\) son "Morita equivalent", y que de ahí sale esto. Creo que esto lo vamos a ver más adelante pero... se puede resolver el ejercicio sin eso, no?

Me mataste con ese ejercicio.

Te digo lo de Morita si querés:

Sea \(M=k^n\), entonces esto es a la vez un \(k\)-modulo a izq. y un \(M_n(k)\)-modulo a derecha. Tensorizar con este modulo de un lado te da un isomorfismo de categorias entre la categoria de los modulos sobre k y la de los modulos sobre las matrices. La inversa es tensorizar sobre el otro lado.

Ejercicio 12 de la práctica 4, muy largo para escribirlo todo, pero basicamente dice que todos los ideales tienen la forma que vos decís (si es que entendí bien, claro).