1a) Sea \(G\) un grupo y sea \(H \unlhd G\)
Sea \(K \le G\). Se cumple que \(|K|\) y \([G:H]\) son finitos y además son coprimos. Probar que
$$K \le H$$
b) Sea \(G\) un grupo de orden \(mn\) con \(m\) y \(n\) coprimos. Sea \(H\) un grupo de orden \(n\). Probar que \(H\) es el único subgrupo de orden \(n\) si y solo si \(H \unlhd G\)
2) Probar que \({Z_{p^2}}^*\) es cíclico
3)a) Sea \(H\) un subgrupo de \(S_n\) tal que \([S_n:H]=2\)
Probar que o bien \(H=A_n\) o \([A_n: H \cap A_n]=2\)
b) Sea \(G\) un grupo simple de orden \(60\). Supongamos que \(G\) admite un subgrupo con exactamente \(5\) conjugados. Probar que \(G\) es isomorfo a \(A_5\)
4)a) Sea \(G\) un grupo de orden \(7.41.97\) Probar que \(G\) es cíclico
b) Sea \(G\) un grupo de orden \(2.3.7\)
Sea \(H\) un \(3\) sylow de \(G\)
i)Probar que \(N(G,H)=\) \(6\) o \(42\)
ii)Demostrar que \(G\) tiene un subgrupo de orden \(6\)
5)Sea \(A\) un dominio íntegro y sea \(K\) su cuerpo de fracciones.
Supongamos que se cumple (\(\forall x \in K\)) \(x \in A\) \(\vee\) \(\frac{1}{x} \in A\)
a) Probar que si \(A\) es noetheriano entonces es un dominio de ideales principales
b) Probar que \(A\) admite un unico ideal maximal
Sugerencia: Basta probar que \(A-A^*\) es un ideal
Firma
Daniel