Dejo más o menos lo que tomaron, si hay algún error avisen!
\(1.\) Sea \(f:(0,+ \infty) \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(x)=(1+ \frac{1}{x})^{2x}\)
Demostrar que \(f\) es inyectiva, calcular su imagen.
\(2.\) Sea \(f(x)=x^{\frac{2}{7}} sen^p(x^{\frac{2}{7}})\) con \(p > 1\). Dar los valores de \(p\) para los cuales \(f\) es derivable en \(0\). Para los valores hallados calcular \(f'(0)\)
\(3.\) Sea \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continua y derivable tal que \(f(0)=f(1)=0\) y \(|f'(x)| \leq 1\) para todo \(x \in (0,1)\). Demostrar que \(|\int^{1}_{0} f(x) dx| < \frac{1}{4}\)
\(4.\) Sea \({f}_{n}(x)=ln^{2n}(x)\), para cada \(t\) en \((0,1)\) y para cada \(n\) consideramos el triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente al gráfico de \({f}_{n}\) en el punto de abcisa \(x=t\).
Para cada \(n\), hallar \(t\) tal que el área de dicho triángulo sea máxima