\(1) a-\) Sea \(E/K\) finita. Para cada \(a \in E\) se define \({\psi}_{a}: E \rightarrow E\) tal que \({\psi}_{a}(x)=ax\). Probar que \({\psi}_{a}\) es \(K\)-lineal y su minimal es el minimal de \(a\) sobre \(K\).
\(b-\) Sea \(E\) \(\subset \mathbb{Q}^{nxn}\). Probar que \([E:Q] \leq n\)
\(2)\) Sea \(t\) trascendente sobre \(\mathbb{F}_{3}\). Dados \(a\), \(b \in \mathbb{F}_{3}\), \(a \neq 0\) definimos \({\phi}_{a}\), \({\psi}_{b}\) como: \({\phi}_{a}(t)= at\), \({\psi}_{b}(t)= t + b\).
Sean \({H}_{1}= \{{\phi}_{1} , {\phi}_{2} \}\) y \({H}_{2}= \{{\psi}_{0}, {\psi}_{1}, {\psi}_{2} \}\).
a- Calcular el cuerpo fijo de \(\mathbb{F}_{3}(t)\) por \({H}_{1}\), por \({H}_{2}\) y por \(<{H}_{1},{H}_{2}>\)
\(3)\) Sea \(p \in \mathbb{N}\) primo, \(t\) trascendente sobre \(\mathbb{F}_{p}\), \(E\) cuerpo de descomposición de \(f= X^p + (t^2-t)X + (t-1)\)
a- Calcular \([E:\mathbb{F}_{p}]\)
b- Probar que \(Gal(E/{\mathbb{F}}_{p}(t))\) es isomorfo a
\(4)\) Sea \(E\) cuerpo de descomposición de \(f= x^4-6x^2+6\) sobre \(\mathbb{Q}\)
\(a-\) Calcular \([E:\mathbb{Q}]\)
\(b-\) Caracterizar \(Gal(E/\mathbb{Q})\)
\(c-\) Hallar las subextensiones cuadráticas