Bueno, no sé si llamarlo apunte, o como llamarlo, pero es un rejunte de resultados que me sirvieron para resolver los problemas de fuerzas centrales. No es nada muy revelador lo que voy poner, pero a mí me sirivó mucho poner todos estos resultados juntos y darme cuenta que los problemas de fuerzas centrales salían usandolos.
Todo esto es información sacada de los apuntes de Minotti, del Landau o el Goldstein (lo de velocidad de perihelio fue lo único que "hice yo"). Las deducciones para cada ecuación que voy a poner se puede encontrar ahí.
Masa reducida \(\mu = \frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\)
Distancia entre cuerpos \(\vec{r}=\vec{{r}_{2}}-\vec{{r}_{1}}\) Recordar que en estos problemas trabajamos siempre en el sistema centro de masa (como nunca hay fuerzas externas, el centro de masa se mueve con velocidad constante, por lo tanto es un sistema inercial).
Coordenada angular \(\theta\)
Nótese que en el caso de tener un solo cuerpo, y que la fuerza ejercida sobre este depende de la distancia a un punto, estamos en el mismo problema. De hecho podemos pensar que existe otro cuepro de masa infinita que es el que interactua con el cuerpo estudiado (como la relación Sol-Tierra), tomando el límite de \({m}_{1}\) tendiendo a infinito, queda \(\mu = {m}_{2}\) y el centro de masa coincide con la posición de \({m}_{1}\) (por lo tanto \(\vec{r}\) es la distancia del cuerpo con menor masa al origen de coordenadas)
Momento \({l}_{z}= \dot{\theta} \mu {r}^{2}\)
Energía \(E=\frac{1}{2} \mu {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} \frac{{{l}_{z}}^{2}}{ \mu {r}^{2}} + V(r)\)
(el Momento y la Energía tienen la hermosa propiedad de que se conservan)
Potencial efectivo \({V}_{ef}=\frac{1}{2} \frac{{{l}_{z}}^{2}}{ \mu {r}^{2}} + V(r)\)
En muchísimos ejercicio lo que va a haber que hacer es graficar el potencial efectivo y ver donde corta la energía. Si la energía corta en un punto al gráfico del potencial efectivo, la órbita va a tener un sólo punto de retorno (se llaman así por qué son los puntos donde \(\dot{r}=0\)), si la corta en dos lugares tendra dos puntos de retorno y será una órbita acotada (acotada no implica cerrada) si corta justo en en un mínimo del potencial efectivo la órbita será circular.
Trayectoria \(\theta (r) = \int \frac{{l}_{z} dr}{\mu {r}^{2} \sqrt{\frac{2}{\mu} (E-{V}_{ef})}}\) (si el primer límite de integración es mayor al segundo, la integral va con un menos) (si integramos sin límites, sale una constante de integración, pero siempre podemos "corrernos" hasta que esa constante sea igual a cero)
Tiempo \(t(r)=\int \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu} (E-{V}_{ef})}}\) (si el primer límite de integración es mayor al segundo, la integral va con un menos) (si integramos sin límites, sale una constante de integración, pero siempre podemos "corrernos" hasta que esa constante sea igual a cero)
Se pueden hacer los despejes necesarios para sacar \(r(t)\), \(r(\theta)\) y \(\theta (t)\)
Otra forma de conseguir \(r(\theta)\) es resolviendo la ecuación diferencial:
Bueno, estás son las ecuaciones. Dejo dos notas más: una sobre la integral de \(\theta (r)\) y la forma general de las soluciones y la otra sobre la velocidad del perihelio y órbitas cerradas. En las dos se puede ver un poco como jugar con las integrales.
La integral de \(\theta (r)\) y la forma general de las soluciones
Plantenado la integral de \(\theta (r)\) y usando las substitución \(x=\frac{1}{r}\) puede llegar a una integral de la forma \(\int \frac{dx}{\sqrt{\alpha {x}^{2} +\beta x + \gamma}}\) que tiene como solución \(\frac{-1}{\sqrt{\alpha }} arcos \left[ \frac{-2 \alpha x + \beta }{\sqrt{{\beta}^{2}-4 \alpha \gamma}} \right]\). Se puede llegar a soluciones de este tipo con muchos tipos de potencial, en particular, con el potencial efectivo.
Despejando r y haciendo varias maniobras se puede llegar a \(r=\frac{a (1- {\epsilon}^{2})}{1+ \epsilon cos (c \theta )}\). Donde a es el semieje mayor de la elipse, \(\epsilon\) es la excentricidad y c determina si es abierta o cerrada (si c=1 es cerrada, si c>1 abierta). En el problema de Kepler \(a=\frac{-k}{2E}\), \(\epsilon= \sqrt{1+\frac{2E{l}_{z}}{R}}\) y c=1. (c suele llamarse \(\alpha\) en los libros, pero no quería confundir con la notación usada para la integral).
Velocidad del perihelio y órbitas cerradas
El periapsis es el mínimo valor que puede tener \(\vec{r}\), en el caso que uno de los cuerpos sea el Sol, se lo denomina perihelio.
Primero veamos cuanto tiempo tarda de ir del periapsis al apoapsis (el contrario de periapsis).
\(\Delta \theta\) guarda otro dato interesante. Si \(\Delta \theta = \frac{2 \pi m}{n}\) con m y n enteros, la órbita es cerrada (después de n periodos, va a haber hecho m revoluciones y va haber llegado al mismo punto), si \(\Delta \theta \neq \frac{2 \pi m}{n}\) la órbita será abierta (pero acotada, ya que tiene un periapsis y un apoapsis)
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
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