Tema

[Resuelto] 2010 1C - 1er Parcial

1 respuestas 5967 visitas 2010-05-24

#1 Joaquín 2010-05-24 02:07

Problema 1: Considere la región limitada por dos semiplanos que se intersectan a lo largo del eje \(z\) formando un ángulo \(\alpha\) entre \(0\) y \(2\pi\). En cilindricas, \(0\leq \rho < \infty\),\(-\infty < z < \infty\), \(0 \leq \varphi \leq \alpha\)

a) Encuentre la función de Green \(G_{\alpha}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')\) para el problema de Dirichlet en esta región.

b) A partir del resultado anterior, escriba su solución para el caso \(\alpha = \pi\).

c) Usando la función de Green para todo el espacio y el método de imágenes escriba la función de Green del problema de Dirichlet para el semiespacio \(y \geq 0\)

d)Muestre que las expresiones del ítem b) y c) son idénticas.

La función de Green \(G_{\alpha}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')\) es el potencial producido por una carga puntual \(q=1\) en \((\rho',\varphi',z')\). La parte angular va entre \(0-\alpha\) y se anula en esos planos (problema de Dirichlet), entonces uso \(\sin\big( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\big)\). La región la divido en dos con el plano \(z=z'\). En la parte inferior \(-\infty < z < z'\) y para que no diverga la solución van \(e^{k(z-z')}\); en la parte superior \(z'<z<+\infty\) y para que no diverga uso \(e^{-k(z-z')}\). Esta elección obliga a usar \(\{ J_{\nu},N_{\nu} \}\) para la parte radial, pero como el eje \(z\) está inculido en la región, las \(N_{\nu}\) no apareceran en el desarrollo. La solución general queda:

\Phi_{I}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk A_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{k(z-z')}

\Phi_{II}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk B_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{-k(z-z')}

Las condiciones de borde son la continuidad y el salto en la derivada por la presencia de la carga en el plano \(z=z'\):

\Phi_{I} (z')= \Phi_{II} (z')

\partial_{z} \Phi_{I} - \partial_{z} \Phi_{II} \big|_{z'}= 4 \pi \sigma

la primera ecuación, por la ortogonalidad de la base del desarrollo implica que \(A_{nk}=B_{nk}\) y por lo tanto el potencial se escribe, para las dos regiones, como:

\Phi=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk A_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{-k|z-z'|}

Para el salto de la derivada escribo la densidad superficial como desarrollo en serie de Fourier-Bessel:

\sigma(\rho,\varphi)=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk \hat \sigma _{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg)

donde \(\sigma(\rho,\varphi)=q\frac{ \delta (\rho - \rho') \delta( \varphi - \varphi')}{\rho}\) (si integro obtengo la carga) y su transformada es

\hat \sigma _{nk} =q \frac{2k}{\alpha} \int_{0}^{\alpha}d\varphi \int_{0}^{\infty} \rho d\rho J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg)\frac{ \delta (\rho - \rho') \delta( \varphi - \varphi')}{\rho} = q \frac{2k}{\alpha}J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho') \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi' \bigg)

mientras que el salto es

\partial_{z} \Phi_{I} - \partial_{z} \Phi_{II} \big|_{z'}= \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk 2k A_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg)

igualando los coeficientes se obtiene \(A_{nk}\):

A_{nk}=q \frac{4\pi}{\alpha}J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho') \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi' \bigg)

haciendo \(q=1\) se obtiene la función de Green para el problema de Dirichlet en la región:

G_{\alpha}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=\frac{4\pi}{\alpha}\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho')J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi' \bigg)\sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{-k|z-z'|}

En el caso particular \(\alpha=\pi\) solo remplazo en la fórmula anterior y se obtiene

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=4\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk J_{ n}(k\rho')J_{ n}(k\rho) \sin( n \varphi' )\sin( n \varphi ) e^{-k|z-z'|}

La función de Green para todo el espacio es

G(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')= \int_{0}^{\infty} dk\bigg[ J_{0}(k\rho')J_{0}(k\rho) + 2\sum_{\nu>0} J_{\nu}(k\rho')J_{\nu}(k\rho)\cos \nu ( \varphi-\varphi')\bigg] e^{-k|z-z'|}

La solución para el problema de Dirichlet de un plano en \(y=0\) para \(y>0\) coincide con el potencial producido por una carga \(q=1\) en \((x',y',z')=(\rho',\varphi',z')\) superpuesto con una carga \(-q\) en \((x',-y',z')=(\rho',-\varphi',z')\):

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=G(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')-G(\rho,\varphi,z;\rho',-\varphi',z')

Al sumar las dos contribuciones el término con \(\nu=0\) se anula y queda

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=2\sum_{\nu>0} \int_{0}^{\infty} dk J_{\nu}(k\rho')J_{\nu}(k\rho) \bigg\{ \cos \nu(\varphi-\varphi')-\cos \nu(\varphi+\varphi')\bigg\} e^{-k|z-z'|}

en esta expresión se observa que si se calcula en \(\varphi=0,\alpha\) la resta de cosenos se anula y se cumple la condición \(\Phi_{y=0}=0\).

Para demostrarlo primero desarrollo los cosenos de la suma de ángulos

\cos \nu(\varphi- \varphi' )= \cos \nu \varphi \cos \nu \varphi'+ \sin \nu \varphi \sin \nu \varphi'

\cos \nu (\varphi+\varphi' )= \cos \nu \varphi \cos \nu \varphi' - \sin \nu \varphi \sin \nu \varphi'

Por lo tanto, el término del corchete es

\cos \nu(\varphi- \varphi' )-\cos \nu(\varphi+ \varphi' ) = 2 \sin \nu \varphi \sin \nu \varphi'

y reemplazando en la función de Green obtenida por imágenes se llega a la expresión

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=4\sum_{\nu>0} \int_{0}^{\infty} dk J_{\nu}(k\rho')J_{\nu}(k\rho) \sin (\nu \varphi) \sin (\nu \varphi') e^{-k|z-z'|}

que claramente coincide con la solución obtenida por separacion de variables.

#2 bel 2010-09-27 01:12

como te quiero en este momento :p

ahora, yo tengo una pregunta. cuando \(\nu\) no es entero, la base no son las {\({J}_{\nu},{J}_{- \nu}\)}? o uno puede seguir asumiendo que las \({K}_{\nu}\) son l.i. y seguirlas usando, para usar que uno sabe que divergen en el 0, por ej.

bueno si alguien me contesta esa mini duda estaría bueno :p

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