El ejercicio es el clasico de dos pendulos acpolados por un resorte de constante de estiramiento \(k\) ambos péndulos de longitud \(l\) pero de masas \(m_{a}\) y \(m_{b}\)
El item b pide las frecuencias naturales del sistema y los modos normales de oscilación. Queria saber si algun alma caritativa me ayudaria con este ejercicio.
Lo plantee y resolvi, pero no estoy muy seguro... Más tarde posteo lo que hice, ahora me tengo que ir precisamente a F2 😄
Saludos
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
aca te pongo la resolucion, tambien se podria hacer escribiendo la ec caracteristica, sacando las raices blabla pero esta forma es mas corta 😛
Buen, los angulos de las masas los llamo \(\theta_{a}\) (a la izq) y \(\theta_{b}\) (der). Si consideras el sistema de ambas masas juntas, la fuerza externa para oscilaciones pequeñas es \(-g(m_{a}\theta_{a}+m_{b}\theta_{b})\) y lo que esta entre parentesis es proporcional a la posicion del centro de masa, entonces es natural tomarlo como una coordenada normal \(\eta_{1}=m_{a}\theta_{a}+m_{b}\theta_{b}\) y queda \(\ddot\eta_{1}=-\frac{g}{L}\eta_{1}\). de aca sacas la frecuencia del primer modo \(\omega_{1}=\sqrt{ \frac{g}{L}}\).
el segundo no es tan obvio, si planteas las ec de newton te queda para a:
si las masas fueran iguales podrias restar las ecuaciones y sacar \(\theta_{b}-\theta_{a}\) de factor comun, pero ahora no podes por el termino de la fuerza de gravedad, pero es facil ver que si multiplicas la primer ecuacion por \(m_{b}\) y la segunda por \(m_{a}\) evitas ese problema y la ecuacion que te queda, si definis \(\eta_{2}=m_{a}m_{b}(\theta_{b}-\theta_{a})\) es
y de esta ecuacion ya se ve que la frecuencia del otro modo es \(\omega_{2}^{2}=k\frac{m_{a}+m_{b}}{m_{a}m_{b}}+\frac{g}{L}\)
el movimiento general va a ser una superposicion \(\theta_{i}=A_{i}\eta_{1}+B_{i}\eta_{2}\) (escrito en la base de las coordenadas normales). el primer modo se da cuando \(\eta_{2}=0\), o sea cuando \(\theta_{a}=\theta_{b}\). el segundo modo se da cuando \(\eta_{1}=0\), o sea cuando \(m_{a}\theta_{a}=-m_{b}\theta_{b}\) y ahi tenes la forma de los modos.
espero no tener ningun error de cuentas 😛 pero buen, espero que te sirva
Muchisisimas gracias. Yo lo resolví matemáticamente, y llegue bien a los resultados. Pero resolviéndolo de esta manera se entiende mucho mas la física y es mucho más visible.
Nuevamente gracias... Ahora me tengo que poner con los sistema de más grados de libertad =P
