Tengo los siguientes 2 problemas :
Es una masa puntual (y el planteo es para antes que toque el resorte. Datos :\(\alpha , \mu_{d}, m, D,k, l_{0}\).Las cosas en colores son agregados mios.):
Tengo que encontrar el potencial gravitatorio:
La fuerza \(\overrightarrow P\) queda descompuesta en \(\hat{x}\) e \(\hat{y}\) como:
$$\overrightarrow P = -mgsen(\alpha)\hat{x}-mgcos(\alpha)\hat{y}$$
Pero defini otro versor (\(\hat{h}\)), entonces el peso queda como (es para simplicar cuentas, se va a poner feo mas adelante, en el siguiente problema):
$$\overrightarrow P=-mg\hat{h}$$
(Esto lo voy a usar mas adelante, pero \(h=sen(\alpha)x\))
Entonces, si el peso es una fuerza conservativa, puedo escribir al peso como menos el grandiente de una función:
$$\overrightarrow P =-\overrightarrow{\nabla} U(h)$$
O sea me quedo el gradiente en un solo versor, porque el peso estaba en ese versor nada mas (y la funcion va a depender de la variable de ese versor nada mas, en este caso, la variable es \(h\) )
$$\Rightarrow -mg =-\frac{dU(h)}{dh}\Rightarrow dU = mg\ dh\Rightarrow \int^{U(h)}_{U(h_{0})}dU=\int^{h}_{h_{0}}mg\ dh$$
Queria saber en este problema si las manera que exprese el gradiente de la funcion esta bien (porque con el gradiente son derivadas parciales)
El problema 2 consiste en el siguiente esquema, y se trata de un cuerpo rigido:
Datos:\(M,k,l_{0},\alpha\). Los ejes los pusieron de esa manera.
Entonces el peso me queda escrito como:
Mi primer pregunta es, si puedo encontrar un \("h"\) en este problema, que dependa de alguna variable (ó de las 2)\(x\) e \(y\).
Bueno ese no es el problema principal, la cosa es cuando quiero ver si la fuerza es conservativa:
$$\overrightarrow P =- \overrightarrow{\nabla}U(x,y)\Rightarrow Mgsen(\alpha)\hat{x}-Mgcos(\alpha)\hat{y}= -\left(\frac{dU(x,y)}{dx},\frac{dU(x,y)}{dy}\right)$$
¿Como resuelvo esto que me quedo?
¿Resuelvo por versores y luego sumo las soluciones?
En la practica lo que hacian cuando quedaba un potencial con 2 variables era:
$$\overrightarrow P =- \overrightarrow{\nabla}U(x,0)$$
Hacian esto porque en el eje \(Y\) no habia movimiento.
Entonces con esto mandaban que \(U(x,0)=-Mgsen(\alpha)(x-x_{0})+U(x_{0},0)\)
Igual esto mas que para el peso, lo usaban para fuerzas gravitatorias que dependian de 2 variables.
Si lo resuelvo igualando versor a versor, entonces en \(\hat{x}\) me queda:
\(\Rightarrow \int^{(x,y)}_{(x,y)}dU(x,y)=-Mgsen(\alpha)\int^{x}_{x_{0}}dx\) Y aca con esta integral mande fruta con los limites de integracion. Del lado derecho me depende solo de \(x\), pero del lado izquierdo no, aunque solo estoy intengrando en funcion de \(x\) del lado derecho de la igualdad. ¿Esto esta bien?
El mismo razonamiento intentaria para sacar el potencial en \(Y\).
Punto y aparte de todo lo que dije.En si el potencial me quedaria:
Menos el gradiente de esta funcion me da el peso, con lo que llego a lo que yo queria.
Encima como \(y=y_{0}\) para todo tiempo, el potencial solo termina dependiendo (como era obvio) de \(x\).
Mi duda como siempre, es que nose como llegar formalmente a este resultado.
Para la primera parte puedo decirte que como reduciste todo a una variable \(h\), ahora tenés una derivada total y ninguna parcial. Lo otro después lo pienso. Ahora estoy quemado....
EDIT😛arecería ser que para un cuerpo rígido es lo mismo... La posición del centro de masa no varía (que es donde se aplica el peso digamos).
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
