Dice: considere un flujo estacionario plano consistente en una tubería de ancho \(\pi\) (la región \(0<y< \pi\), con una fuente de caudal Q en el origen. El caudal en cada extremo del tubo es Q/2.
a)Obtenida la transformación de Schwartz-Christoffel que transforma la región en el semiplano y>0.
b)Encuentre la posición de las fuentes para el problema en el plano complejo luego de aplicar la transformación hallada en a).
c)Halle el campo de velocidades en el tubo y grafique las líneas de corriente. Calcule la presión como función de la posición.
Voy a contar lo que hice y los problemas que tuve, a ver si alguien me puede ayudar:
a) Bueno, la transformación es \(\zeta = {e}^{z}\), que manda una tubería en el plano z en el semiplano positivo en el espacio \(\zeta\)
b) como la fuente en z está en el origen, vemos que en \(\zeta\) queda en \(\zeta=1\)
ahora acá viene uno de mis problemas: cómo sé si la fuente tiene caudal Q o Q/2? porque yo lo que sé es que en z, cuando \(z \rightarrow \infty\) (más particularmente cuando su parte real tiende a + o - infinito), debe pasar que el caudal sea Q/2, es decir, que \({v}_{z} \rightarrow Q/2 \pi\)
traté de ver si con esta condición llegaba a alguna información sobre como tenía que ser el caudal de la fuente en \(\zeta\), sabiendo que:
\(w(\zeta)=\frac{q}{2\pi}ln(\zeta -1)\) con q el valor de la fuente que no conozco
y bueno... esto no tiene límite cuando x tiende a infinito así que no me sirve para ver cuánto tiene que valer q,. ademçás de que tiene un montón de singularidades, o sea, la velocidad diverge en un montón de puntos (en particular, sí se cumplen las condiciones de borde ya que en los bordes la componente y se anula, pero puede verse que la componente x diverge en los mútiplos de 2pi) y oscila... no sé, no me parece que sea una solución con sentido, pero no encuntro dónde estuvo mi error, así que apreciaría cualquier ayuda
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Mira la verdad es q no me plantee eso de cuanto valia la fuente el espacio ceda( se escribe así?) que es una muy buena pregunta, pero hay algo ahi en tu derivada de w respecto de z en lo cual difiero.
Fijate que, al menos a mi me quedo,
que si le tomas limite ves que cuando x tiende a infinito te queda solo en la componente x y vale q/2pi, que era lo que querías.
bueno no se si ayude en algo o puse un monton de cuentas al pedo, cualquier cosa avisa!
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Muy cierto lo de Tati. Ahí el único punto singular es el (1,0), o sea, la fuente.
Para calcular el Q' (el de la fuente en el espacio transformado) estuve viendo con mucha atención lo que hizo Mininni.
Él en clase tenía la fuente en \(-\infty\), por eso se le va al cero en el espacio transformado. También sabe que el caudal en \(+\infty\) es \(U \pi\) y como al \(+\infty\) de z lo manda a \(+\infty\) en ceda el caudal debe ser lo mismo. Entonces (lo que creo que) hace es:
\(\pi r \frac{Q'}{2 \pi} = U \pi\) longitud del arco * velocidad = caudal
y despeja Q'
Por lo tanto, en este problema Q'=Q (utilicé que en \(+\infty\) el caudal es Q/2).
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
jajaja, posssssta, eso que puse ahi es una burrada!! se nota que tenía sueño, pero no tengo excusa para no haberme dado cuenta hoy cuando lo pasé :p
si, entonces con mi argumento para sacar cuánto vale el caudal también vale q=Q. supongo que la diferencia con lo que hizo mininni es que en ese caso e n los dos espacios la fuente queda "apoyada sobre el contorno" así que no está ese problema
ah, \(\zeta\) es la zeta griega, no esoty segura de como se pronuncia, pero supongo que le dicen seda para que no se confunda (pero si pones el mouse sobre el tex te dice que es \zeta