Buenas, les dejo un ejercicio que tengo dudas de como hacerlo:
1- Nueve personas se suben al metrobus en la estación terminal. Este bus tiene la máquina expendedora de boletos rota con lo cual durante su recorrido nadie más subirá. Dicho recorrido tiene 12 paradas. Cada persona selecciona al azar cada parada en la que bajará.
a- Calcular la probabilidad de que todas las personas se bajen antes de la cuarta parada.
b - Calcular la probabilidad de que en ninguna parada se baje más de 1 persona.
c - Calcular la probabilidad de que entre la quinta y la sexta parada solo viajen 2 personas.
Suponiendo que las personas son distinguibles, podes pensarlo de la siguiente manera:
#S = 9^12, que es la cantidad de casos posibles. Es decir, todas las combinaciones para que en la ultima parada no haya mas personas, ya que cada persona, tiene 12 posibilidades de bajarse en cada parada.
Luego,
a) Si vos queres que las personas se bajen antes de la 4ta parada, para cada persona, tenes 3 posibilidades de bajarse en cada parada. Por tanto, la probabilidad es casos favorables / casos totales, y en este caso es 9^3 / 9^12.
b) En este caso, primero tenes que ver de cuantas formas se pueden bajar las 9 personas, en 9 paradas distintas. Es decir, la primera persona tiene 12 paradas distintas en donde bajarse, la segunda tiene 11, porque no puede bajarse en la misma que la primera persona, la tercera 10, y asi sucesivamente. Lo que te queda como casos favorables, 12! / 3! = 12 x 11 x 10 x .. x 4. Nuevamente, eso lo tenes que dividir sobre los casos totales y te da la probabilidad.
c) En este caso, ya se que en la 5ta parada deben quedar solo 2 personas. Entonces, en primer lugar, elijo estas dos personas, con el combinatorio (9 2). Luego, las 7 personas restantes, que deben bajarse de la 1 a la 5 parada, inclusive, tiene 5 posibilidades cada uno para bajarse. Luego, hay 5^7 combinaciones. Y por ultimo, no te tenes que olvidar de agregar las distintas combinaciones que pueden existir con las personas que siguen en el colectivo despues de la 5ta parada, es decir, en que paradas se van a bajar dps de la 5ta: en la 6ta, en la 7ma, etc. Para ellos dos, hay 7 posibilidades para cada uno (12- 5 = 7) , por lo que nos da 7^2 combinaciones.
Luego, los eventos favorables son un total de (9 2) x 5^7 x 7^2 (recorda que el 9 2 es el combinatorio entre 9 y 2, solo que no tenia ganas de escribir en latex), y por tanto, la probabilidad seria dividir eso sobre los casos totales, que calculaste al principio.
Suponiendo que las personas son distinguibles, podes pensarlo de la siguiente manera:
#S = 9^12, que es la cantidad de casos posibles. Es decir, todas las combinaciones para que en la ultima parada no haya mas personas, ya que cada persona, tiene 12 posibilidades de bajarse en cada parada.
Luego,
a) Si vos queres que las personas se bajen antes de la 4ta parada, para cada persona, tenes 3 posibilidades de bajarse en cada parada. Por tanto, la probabilidad es casos favorables / casos totales, y en este caso es 9^3 / 9^12.
b) En este caso, primero tenes que ver de cuantas formas se pueden bajar las 9 personas, en 9 paradas distintas. Es decir, la primera persona tiene 12 paradas distintas en donde bajarse, la segunda tiene 11, porque no puede bajarse en la misma que la primera persona, la tercera 10, y asi sucesivamente. Lo que te queda como casos favorables, 12! / 3! = 12 x 11 x 10 x .. x 4. Nuevamente, eso lo tenes que dividir sobre los casos totales y te da la probabilidad.
c) En este caso, ya se que en la 5ta parada deben quedar solo 2 personas. Entonces, en primer lugar, elijo estas dos personas, con el combinatorio (9 2). Luego, las 7 personas restantes, que deben bajarse de la 1 a la 5 parada, inclusive, tiene 5 posibilidades cada uno para bajarse. Luego, hay 5^7 combinaciones. Y por ultimo, no te tenes que olvidar de agregar las distintas combinaciones que pueden existir con las personas que siguen en el colectivo despues de la 5ta parada, es decir, en que paradas se van a bajar dps de la 5ta: en la 6ta, en la 7ma, etc. Para ellos dos, hay 7 posibilidades para cada uno (12- 5 = 7) , por lo que nos da 7^2 combinaciones.
Luego, los eventos favorables son un total de (9 2) x 5^7 x 7^2 (recorda que el 9 2 es el combinatorio entre 9 y 2, solo que no tenia ganas de escribir en latex), y por tanto, la probabilidad seria dividir eso sobre los casos totales, que calculaste al principio.
Espero se haya entendido algo. Saludos!
Quisiera hacer una aclaración, corríjanme si me equivoco.
La cantidad de casos totales no es 9^12, sino 12^9.
Si cada persona tiene 12 posibilidades distintas para bajarse cada una, en total tendríamos:
12x12x12x12x12x12x12x12x12 = 12^9
Siguiendo esto, en el caso del ejercicio a), la cantidad de casos favorables es 3^9, sobre la cantidad de casos totales 12^9, lo cual nos da:
3^9/12^9, que es un valor bastante más grande.
En el resto de los ejercicios obtuve los mismos resultados, solo que cambiando la cantidad de casos totales por 12^9.