(cada item valía 10 puntos, habia que tener alguno de los dos primeros y alguno de los dos segundos bien para aprobar)
a) Defina función de distribución acumulada de una variable aleatoria \(X\). Deduzca la formula para la uniforme \([-3, 4]\)
b) Deduzca la función de distribución acumulada de la Geométrica, cuya función de distribución puntual es \((1-p)^{k-1}p\)
c) Defina Proceso de Poisson de parámetro \(\lambda\). Demuestre que la variable aleatoria \(T_1 =\) "Tiempo en el que ocurrió el primer evento" es una \(\varepsilon(\lambda)\)
Este está todo en los apuntes de la materia
a) Defina convergencia en Distribución. Demuestre que la sucesión de variables aleatorias \(X_n\) independientes de distribución \(Bi(n, \frac{\lambda}{n})\) converge en distribución a \(X \sim \wp(\lambda)\)
a) La convergencia en distribución es que las funciones de distribución \(f_{X_n}\) converja puntualmente a la función de distribución \(f_X\), y este caso está hecho también en los apuntes de la materia.
b) Defina convergencia en Probabilidad. Sea \(Y_n\) sucesión de variables aleatorias independientes Bernoulli(p), Demuestre que \(Y_n\) converge en distribución a \(Y \sim\) Bernoulli(p) pero no en probabilidad.
b) Como todas tienen identica función de distribución, la convergencia en distribución es trivial. Veamos que esto no sucede así para la convergencia en probabilidad:
La convergencia en probabilidad es que para todo \(\varepsilon > 0\), \(\lim_{n\rightarrow\infty} P(|X_n-a|>\varepsilon) = 0\)
Notemos que como las variables son Bernoulli, sólo toman dos valores: 0 ó 1. Luego la variable aleatoria \(|X_n-X|\) toma sólo dos valores: 0 ó 1. Y si p > 0, podemos verificar que no importa que n elijamos (porque en realidad son todas iguales, ya que la distribución no depende de n), si elegimos un \(0 < \varepsilon < 1\), entonces \(P(|X_n-X|>\varepsilon) = \text{cte.} > 0\) y por lo tanto \(X_n\) no converge en probabilidad a \(X\).
c) Sea \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), Demuestre que \(\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\) y que si \(Z \sim N(0,1) \ \ \sigma Z+\mu \sim N(\mu,\sigma^2)\).
Esto se puede hacer con las fórmulas o más simple usando la Función Generadora de Momentos de la Normal.
a) Sea \(X \sim\)Bernoulli(p). Dada una m.a. de \(X_1... X_n\) encuentre el EMV de p.
b) ¿Es este estimador insesgado, consistente? Justifique.
a) Sea \(X_1... X_n\). \(X ~ Be(p)\) . Encontrar un intervalo de confianza de nivel exacto \(1-\alpha\) para p. Encontrar un IC de nivel asintótico para p. Explique con sus palabras qué significado tiene el intervalo hallado.
b) \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) . Construir un intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) para \(\mu\) si \(\sigma^2\) es desconocido. A partir de ahí contruirse un Test de Hipótesis de nivel \(\alpha\) con \(H_o: \mu = \mu_o H_1 : \mu \neq \mu_o\)