[no resuelto] 2do Parcial , sin fecha

estoy trabada con esto.... sólo llego a sacar w y la recta de su preimagen...
alguien que me pueda dar una mano??

sea \(f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) dada por \(f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2-3x_3;-2x_2+4x_3;x_1+x_3)\)
hallar bases de \(\mathbb{R}^3\), \(B=\{ v_1,v_2,w\}\) y \(B'=\{ w,w_1,w_2\}\) tales que:

gracias!!

te dejo lo que se me ocurrio, decime si te parece que esta bien.
\($ queremos $ f({v}_{1})= w + {w}_{1} , f({v}_{2}) = {w}_{1} , f(w) = 0 $ entonces $ w $ pertenece al nucleo de $ f $. calcule el nucleo y la imagen de $ f $ y llegue a esto: $ Nu(f) = < (-1,2,1)> , Im(f) = <(1,0,1)(2,-2,0)> $ y ademas se que $ f(1,0,0)=(1,0,1) , f(0,1,0)=(2,-2,0) $ y aca ya casi estoy porque tomo $ w = (-1,2,1) , {v}_{2} = (1,0,0), {w}_{1}=(1,0,1) $ y me faltaria averguar $ {v}_{1} $ pero ya tengo todos los datos: busco $ {v}_{1} $ tal que $ f({v}_{1}) = (-1,2,1) + (1,0,1) $ y usando las propiedades de las transformaciones lineales que separan la suma y sacan los escalares afuera llegue a que $ {v}_{1}= (2,-2,0) $ que es LI con $ w $ y ${v}_{2}$.\)