[No resuelto] P:7 (Año: 2013) E:7

7. Encontrar los máximos y mínimos de f(x,y) = y + x - 2xy en el interior y en el borde de R = { (x,y) ∈ R2 / |x| ≤ 1/2 }

Para ver los puntos críticos en el abierto, igualé el gradiente de f a 0, dándome como único punto crítico (1/2 , 1/2), que pertenece a R porque |x| ≤ 1/2.
Acá me trabé. Probé tomar la función g1 (x,y) = x + 1/2 = 0 y g2 (x,y) = x - 1/2 = 0 y aplicar que el gradiente de f es igual a una constante multiplicada por el gradiente de g1 y g2 (en casos separados).
Con g1 llego a 2 valores opuestos de x.
Con g2 llego al mismo valor de x pero no sé cómo despejar y para obtener los puntos críticos.
También probé reemplazar esos valores de x (x = 1/2 y x = -1/2) en f(x,y).

En fin, ¿alguien me ayuda a resolver este ejercicio?
¡Gracias!

Primero que nada, el punto \((1/2,1/2)\in \partial R\), por lo tanto, al parecer en el interior no hay extremos.

Para fijarte en los bordes, tenés los puntos de la pinta \((1/2,y)\) y \((-1/2,y)\).

Podés componer con \(g(y)=(1/2,y),h(y)=(-1/2,y)\) y buscar máximos y mínimos ahí.

Igual eso no alcanza, esos puntos del borde van a ser puntos criticos pero no sabes si son maximos o minimos locales porque estas ignorando el interior.

En mi opinión este es uno de los ejercicios más difíciles de la guía.