ejerc 212 practica 3

Hola que tal, quisiera consutlar a cerca del ejerc 12 de la pract 3 la parte a) la tengo casi cocinada igual me gustaría q me tiren unas ideas para hacerlo, aunqe mi gran conflicto es con la parte b) no se como encararlo!
Gracias!

Perdon se me chanfleo un 2 de mas el ejerc en cuestion es el 12 de la pract 3

¿que dice el ejercicio?

acabo de hacer las cuentas, las hice muy por arriba asi que avisame si hay algo mal \({L}_{1} = t(1,0,-7) + (1,3,1)\) \({L}_{2}= t(1,1,-4) + (1,3,1)\) ahora el plano que contenga a las dos rectas debe tener la siguiente ecuacion parametrica, llamemoslo \(T \Rightarrow T = t(1,0,-7) + s(1,1,-4) +(1,3,1)\) pues deben pasar por el punto \((1,3,1)\) y ademas los dos vectores directores son linealmente independiente asi que cierra todo bien. si te fijas un poco en el limite del punto b) tiene sospechosamente la pinta de parecerse al de direnciabilidad! en el que agarramos la funcion y le restamos la ecuacion del plano tangente. calculemos las derivadas parciales de f. entonces \({f}_{x}(x,y) = 2x- 3y\) \({f}_{y}(x,y) = -3x+2y\) \({f}_{x}(1,3) = -7\) \({f}_{y}(1,3) = 3\) ahora sabemos que en general la ecuacion del plano tangente en el punto p es \(z = f(p) + {f}_{x}(p) (x - {p}_{1}) + {f}_{y}(p) (y - {p}_{2})\) entonces en nuestro caso queda \(z = 1 - 7 (x - 1) + 3 (y-3)\) ahora la ecuacion del plano tangente se consigue haciendo el producto interno de un vector normal contra un punto generico menos el punto p y dicho producto interno debe dar cero. de vuelta en nuestro caso podemos conseguir la normal haciendo el producto vectorial de nuestros dos vectores directores generadores del plano tangente. yo hice la cuenta y me dio el \((-7,3,-1)\) entonces \(0= < N, (x,y,z)- P>\) donde \(P= ({p}_{1},{p}_{2}, f({p}_{1},{p}_{2}))\) \(\Rightarrow 0= -7 (x-1) + 3 (y-3) - z +1\) y si te fijas bien de vuelta nos quedo igual que el plano tangente que calculamos con las derivadas parciales. en conclusion probamos que el limite pedido es cero pues es el limite de diferenciabilidad de f en el \((1,3)\). la moraleja del ejercicio es que te estan dando otra estrategia de calcular el plano tangente al grafico de f en un punto p. espero haberte ayudado 😛

Si muchisimas gracias!!
Otra duda mia era:

1. si me piden el plano tangente de una funcion cualq partidam en un punto primero debo probar q sea continua en ese punto, luego q sea diferenciable y recien ahi el plango tangente??
   o puedo directamente realizar el plano tangente?
2. como se cuando las derivadas direccionales no existen? es porque me dan infinito?

Vanina1990 escribió:

Si muchisimas gracias!!
Otra duda mia era:

1. si me piden el plano tangente de una funcion cualq partidam en un punto primero debo probar q sea continua en ese punto, luego q sea diferenciable y recien ahi el plango tangente??
   o puedo directamente realizar el plano tangente?
2. como se cuando las derivadas direccionales no existen? es porque me dan infinito?

1. emmm eso en realidad depende del ejercicio. el plano tangente existe si o solo si la funcion es diferenciable. osea si te dan una funcion partida y te piden fijarte si es diferenciable yo te aconsejo lo siguiente: trata de no caer en probar el limite de diferenciabilidad porque es un quilombo. yo lo primero que haria seria fijarme si existen las derivadas parciales. cuando la funcion es partida las tenes que calcular con la definicion porque no podes usar la reglita de derivar considerando a la otra variable como constante, es decir calculalas con el limite por definicion. SI EXISTEN, fijate si resultan continuas. si son continuas ya esta! por que sabes que una funcion \(C^1\) es automaticamente diferenciable. ahora si no existen ya esta! sabes que no es diferenciable. si existen y no son continuas estamos mas complicados 😄 ahi te aconsejo que te fijes si la funcion es continua acercandote por curvas. si no es continua ya esta no es diferenciable. si es continua lamentablemente creo que no te queda otra mas que caer en probar el limite de diferenciabilidad.
   2)generalmente no existen cuando acercandote por los t negativos te da un numerito y acercandote por los t positivos te da un numero diferente. si te da infinito yo sospecharia que la funcion no es continua en ese punto.

Ahh buenisimo!!
ultima peqeña duda, es bastante puntual: lim T. sen (1/T)= existe??
t->0

Muchas gracias por tu tiempo!! esta muy bueno esto ya q en las clases practicas es casi imposible hacer consultas :S

siii, existe y es cero por la propiedad cero por acotado!

Hola, quería preguntar por qué el producto vectorial de los vectores generadores del plano tangente te queda (-7,3,-1) en lugar de (7,-3,1). O sea, con el sentido inverso.

Lo único que te interesa es que sea ortogonal a los dos vectores directores. Cualquiera de los dos sirve y el signo depende de el orden en el que se haya hecho el producto.