Estos conjuntos son disjuntos \({B}_{k} \cap {C}_{k} = \emptyset\)
Probando los primeros 4 términos en ambas sucesiones, veo que son decrecientes, luego probe que
\({B}_{k}\geq{B}_{k+1}\) y \(\lim_{k \rightarrow +\infty} {B}_{k} = 1\)
\({C}_{k}\geq{C}_{k+1}\) y \(\lim_{k \rightarrow +\infty} {C}_{k} = -1\)
De ese analisis saco que...
\({B}_{k}\) tiene supremo que es \({B}_{1}\) y como \({B}_{1} \in {B}_{k}\) entonces también es máximo de \({B}_{k}\)
\({B}_{k}\) tiene ínfimo que es 1. Como \(1 \notin {B}_{k}\) entonces \({B}_{k}\) no tiene mínimo[/tex]
\({C}_{k}\) tiene supremo que es \({C}_{1}\) y como \({C}_{1} \in {C}_{k}\) entonces también es máximo de \({C}_{k}\)
\({C}_{k}\) tiene ínfimo que es 1. Como \(1 \notin {C}_{k}\) entonces \({C}_{k}\) no tiene mínimo.
De todo eso, saco que...
\({A}_{n}\) tiene supremo y máximo que es igual a \({C}_{1} = 3\) y tiene ínfimo que sera igual al de \({C}_{k} = -1\) pero no tiene mínimo.
Es correcto como plantee la resolución???
Ejercicio 2
Para el caso de \(a = 0\)
Acotando me queda que...
Utilizo la acotación \(\lvert \cos(x) \rvert \leq 1\) quedando así
\(\frac{\rvert x\rvert{y}^{2}}{{e}^{x+y}\cdot{x}^{4} + {y}^{2}}\) luego agrupo \(\lvert x \rvert \cdot \frac{{y}^{2}}{{e}^{x+y}\cdot{x}^{4} + {y}^{2}}\) indicando que es 0 x acotado, entonces todo tiende a cero. Por lo tanto con \(a = 0\) la función es continua.
Para el caso de \(a = 1\)
Empece con limites iterados...
\(\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y)\) tomando limite con respecto a y, resulta
\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin({x}^{3})}{{e^{x}\cdot{x}^4}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin({x}^{3})}{{x}^3}} \cdot \frac{1}{{e^{x}\cdot x }}\) y como \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin({x}^{3})}{{x}^3}} = 1\) entonces todo \(\lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y) = +\infty\)
Por lo tanto para el caso \(a = 1\) con la función no es continua.
Para obtener la expresion de \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) derivo por regla si \((x,y)\neq(0,0)\) y usando cociente incremental si \((x,y)=(0,0)\)
Luego busco si llamo \(g(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) entonces para saber si es diferenciable debo buscar
\(g(0,0)\), que por definición es 0.
\(\frac{\partial g}{\partial x}(0,0)\), usando el cociente incremental me dio 0.
\(\frac{\partial g}{\partial x}(0,0)\), usando el cociente incremental me dio 0.
Como \(f\) es \({C}^{2}\), entonces \(g\) es \({C}^{2}\), por ser composición de funciones \({C}^{2}\).
Como \(f\) es \({C}^{2}\), en particular \({C}^{1}\) (diferenciable), entonces \(\[\frac{df}{dv}\left(0,1\right)= \langle \bigtriangledown f \cdot v \rangle\)
Como no tengo la expresión de \(f\), para hallar las derivadas parciales de \(f\) voy a tener que usar la información de \(g\)
Defino \(h:{\mathbb{R}}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\) como \(h(x,y) = (\sin({x}^{2} + y), {x}^{3} + 2y + 1)\), que es \({C}^{2}\) por ser suma y composición de funciones \({C}^{2}\)
Entonces escribo a \(g\) en funcion de \(f\) y \(h\), siendo \(g(x,y)=(f \circ h)(x,y)\)
\(\bigtriangledown g(x,y)= \bigtriangledown f (h(x,y)) \cdot Dh(x,y)\). Saco informacion del polinomio de Taylor de \(g(x,y)\) en \((0,0)\).
$$g(0,0) = 0$$
$$\frac{\partial g}{\partial x} (0,0) = 0$$
$$\frac{\partial g}{\partial y} (0,0) = 1$$
$$\frac{{\partial}^{2} g}{\partial x \partial x} (0,0) = 10$$
$$\frac{{\partial}^{2} g}{\partial y \partial x} (0,0) = 0$$
$$\frac{{\partial}^{2} g}{\partial y \partial y} (0,0) = 0$$
Pero de la primera ecuacion no puedo obtener informacion, entonces voy por las derivadas de segundo orden, ya que me
dan como hipotesis que \(f\) es \({C}^{2}\)
De lo cual estimo que la que me va a servir despejar es la tercer ecuación. Pero no me sale hacer la derivada, alguien me puede ayudar?
Es correcto? o le pifie en algún razonamiento, justificación, etc?
Agradeceré la ayuda ya que estoy preparándome para el recuperatorio...
Por otro lado... hay algún ejercicio resuelto para que pueda ver como acotar el \(e^{x+y}\) en caso de que tuviera que hacerlo.
Luego publico los otros...
Si alguno ya tiene el ultimo ejercicio, porque me trabe cuando se debería seguir derivando utilizando que \(f\) es \({C}^{2}\) pero no logro entender como continuar, no me sale que escribir.
como continuar con la regla.
\(k \geq \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\)
Para el tema de que son disjuntos...
No tengo muy claro que poner... puede ser algo como que elijo dos subsucesiones de A y que no comparten indices?
o tendría que plantear \({B}_{k} = {C}_{k}\) y llegar a un absurdo?
Quimey escribió:
Por que en el 0 x acotado, el acotado es acotado.
Es acotado porque al ser
$$\left\{ {e}^{x+y} \geq 0 \atop {x}^{4} \geq 0$$
entonces \(\frac{{y}^{2}}{{e}^{x+y}\cdot{x}^{4} + {y}^{2}} \leq 1\)
Como lo ves?
Me sigue faltando lo de intersección vacía.
Gracias de antemano.
La parte de acotado esta bien, la parte de decrecientes te falta justificar por que 'podes volver' (es decir que las desigualdades son si y solo si). Para ver que son disjuntos podes ver que unos son positivos y los otros negativos, no?
La parte de acotado esta bien, la parte de decrecientes te falta justificar por que 'podes volver' (es decir que las desigualdades son si y solo si). Para ver que son disjuntos podes ver que unos son positivos y los otros negativos, no?
Es verdad, luego veo de ponerlos.
Coloque la resolucion del 4 ejercicio porque es el que no puedo terminar.
Primero no entiendo si esta bien planteado, y bien escritas las derivadas que estoy intentando buscar.
De todas formas, tampoco entiendo (no logro escribir) como son las derivadas parciales de segundo orden, me mareo.
Mmm no hice las cuentas, pero se me ocurre que tal vez se puede resolver con algo de paciencia. A mi siempre me mareo un poco el tema de verlo como matrices (ojo, está bueno hacer el ejercicio y encontrarle la vuelta), por eso lo que hacía era sentarme y escribir que es lo que quería hacer.
Llamemos \(u(x,y) = sen(x^2+y)\) y \(v(x,y) = x^3+2y+1\) y entonces \(g(x,y) = f(u(x,y),v(x,y))\)
Vos en definitiva lo que queres es la derivada de f en la primera coordenada y en la segunda, o sea \(f_u\) y \(f_v\)
Luego, conocemos las derivadas parciales de g (usando regla de la cadena)
$$g_x = f_u*u_x + f_v*v_x$$
$$g_y = f_u*u_y + f_v*v_y$$
Fijate que es lo mismo que escribiste vos, pero con esta notación
Ahora como mencionaste nos falta información, volvamos a derivar ya que conocemos las derivadas de \(g\), pero notemos que \(f_u\) es una función que depende de \(u\) y \(v\), y que \(u_x\) es una función que depende de \(x\) y de \(y\), por lo tanto lo podemos volver derivar considerando la regla de la cadena y la regla del producto:
Fijate que es lo mismo que escribiste vos, pero con esta notación
Gracias Matyz. Me parece que entendí, ya que lo que me complicaba era que no veía ese "producto" y no sabia como nombrar a cada elemento de la matriz. Pero con esa notación creo que salió.
No se si alguno ya hizo este ejercicio, pero al buscar \(g_{xx}\), teniendo por el polinomio de Taylor que \(g_{xx} = 3\) me quedo que \(f_x(0,1) = \frac{3}{2}\), y reemplazando en la que ya tenia me termino quedando que \(f_y(0,1) = -\frac{1}{4}\)