Tema

[No resuelto] Tema D - 08/10/11 - Primer Parcial

3 respuestas 6059 visitas 2011-10-09

#1 Martok 2011-10-09 19:02

Primera vez usando Tex, a ver como me va...

Encontrar máx, mín, supremo e ínfimo de la siguiente sucesión: \(\frac {7n}{5n-19}\)
Analizar la existencia de los siguientes límites. En caso de que existan, demostrarlo por definición.

a) \(\lim_{(x,y) \rightarrow \((-1,0)}\frac {(x+1)sin^2(y^2-2(x+1)^2)}{y^{4}-4(x+1)^4}\)

b) \(\lim_{(x,y) \rightarrow \((0,0)}\frac {(e^{y}-1)^2}{x-y}\)

Analizar la diferenciabilidad de la función en el (0,0)

f(x,y)=\begin{Bmatrix}\frac{sin^{2}(xy)(e^{y^2+(x^2+y^2)^{3/2}}-1)} {(y^2+(x^2+y^2)^{3/2})^2} & si\; (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & si\; (x,y) = (0,0) \end{Bmatrix}

Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y de clase \(C^2\), tal que \(f(1,-2)=1\) y el plano tangente al graf de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) en el punto \((1,-2,\frac{\partial f}{\partial x}(1,-2))\) esta dado por la ecuación \(z = x + 4y + 3\).

Sea \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) dada por \(g(x,y)=(f(x,y),-7+5x^2)\) y \(\nabla (\frac {\partial f}{\partial y} (g(1,-2))=(0,20)\).

Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto \((1,-2,f(1,-2))\) y \(\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}(1,-2)\)

\(f(x,y)=e^{3x+y}\)

a) Hallar el polinomio de taylor de orden 2, y la expresión de residuo de lagrange (o algo así).
b) Aproximar el error cuando \((x,y) \in [0,\frac{1}{10}]\;x\; [\frac {-1}{10},0]\)

#2 Martok 2011-10-09 19:34

2)a. \(\lim_{(x,y) \rightarrow \((-1,0)}\frac {(x+1) \ . \ sin^2(y^2-2(x+1)^2)}{y^{4}-4(x+1)^4}\)

\lim_{(x,y) \rightarrow \((-1,0)}\frac {(x+1) \ . \ sin^2(y^2-2(x+1)^2)}{(y^2+2(x+1)^2) \ . \ (y^2-2(x+1)^2)}

Límite conocido: \(\lim_{t\rightarrow 0} \; \frac{sen (t)}{t} = 1\). Luego, se nos va un seno, y como queremos que se nos vaya el otro, dividimos y multiplicamos por lo que está adentro.

\lim_{(x,y) \rightarrow \((-1,0)}(x+1).\frac {sin(y^2-2(x+1)^2)}{y^2+2(x+1)^2} \ .\ \frac {y^2-2(x+1)^2}{y^2-2(x+1)^2}

\(\lim_{(x,y) \rightarrow \((-1,0)}(x+1).\frac {y^2-2(x+1)^2}{y^2+2(x+1)^2}\), y \(\ \ \frac {y^2-2(x+1)^2}{y^2+2(x+1)^2}\) es \(\leq 1\) para cualquier x,y que tomemos.

Por lo tanto nos queda \(\lim_{(x,y) \rightarrow \((-1,0)} x+1\) que es fácil ver y demostrar por definición que es 0.

b.De vuelta, sabemos del cbc que el límite de \(\frac {e^y - 1}{y}\) cuando y tiende a 0 es 1. Entonces repetimos el truquito de multiplicar y dividir por "y", en este caso dos veces, y nos queda este límite: \(\lim_{(x,y) \rightarrow \((0,0)} \frac {y^2}{x-y}\)

Y bueno, si encontramos dos curvas o dos funciones cuya composición tiendan a límites distintos o una que diverja, nos alcanza para decir que no existe. En particular, yo pensé esta: \(\alpha(t) = (t^3+t, t)\)

Editado 2 veces.

#3 Gabriel Syme 2011-12-10 02:05

Hola!! El 3 alguno me diria como hizo para probar que era diferenciable? Hasta el dia de hoy no se como resolver ese limite por definicion! trate de hacerlo un monton de veces pero no me sale y vuelvo a tomar curvas pero al componer me da que el limite es cero!! Ah y no entiendo el ultimo item del punto 5! Ayuda!

#4 Martok 2011-12-10 03:05

Está bien que te de 0...

El límite existe. ¿En qué parte en particular te trabás? Yo utilice la mayoría de las cosas que se usan para el 2.a y el 2.b, excepto para acotar el denominador.