Sea \(f(0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(x)\) es derivable, para todo \(x \in \mathbb{R}\) y \(\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) =1\), Probar que:
A) Existe una sucesión \({({X}_{n})}_{n \in \mathbb{N}}\) tal que \({X}_{n}\rightarrow \infty\) y \(f'(x)\rightarrow 0\)
B) ¿Existe \(\lim_{x \rightarrow \infty}f'(x)\)?
Agradecería si alguien tiene alguna idea de como hacerlo. Luego posteo otros dos ejercicos más del mismo final
Saludos
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Para la mayoría de la gente, una solución es una respuesta. Para los químicos no es más que agua sucia.
Hay una hipótesis inecesaria que es \(f(x)>0\). Revisa si está bien copiado.
Una idea.
Si la derivada cambia de signo en algún momento, entonces ahí habrá un máximo o un mínimo local, por lo que valdrá 0 (esto ya es algo que habrá que probar). Luego, o bien sucederá infinitamente por lo que ya se tendría la sucesión, o bien a partir de un momento la derivada será siempre positiva o siempre negativa, por lo que la función será monótona. Luego, una función continua, monótona y acotada es uniformemente continua (¡también habría que probarlo!), con lo que se deduciría que el límite de la derivada sería 0 (en cuyo caso, toda sucesión tendería a este).
Con respecto al segundo punto. Toma \(f(x) = \frac{sen(x^2)}{x}+1\). Más aún, \(f(x) = \frac{sen(x^3)}{x}+1\) (¿te imaginás cómo lo construí?)
Mirandolo fuerte (como dice un profe) a mi se me ocurrió lo siguiente:
Si \(f(x)\) es derivable, entonces puedo plantear el Teorema del Valor Medio (TVM para los amigos), entonces:
\(f(x) - f({x}_{0}) = f'(c)(x - {x}_{0})\) donde \(c \epsilon (x, {x}_{0})\) Ahora si tomo limites de ambos lados me queda que:
\(\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) - f({x}_{0}) = \lim_{x \rightarrow \infty}f'(c)(x - {x}_{0})\) pero por las propiedades de los limites, en el primer miembro:
Pero \((x - {x}_{0})\) es una distancia arbitraria finita (llamaemosla R) y si \(x\longrightarrow \infty\) tambien \({x}_{0}\longrightarrow \infty\) por lo que el crecimiento es igual, y, aunque vaya a infinito, la distancia R se mantiene constante.
Entonces puedo decir que:
$$\lim_{x \rightarrow \infty}f'(x)=0$$
POR FAVOR!! Verifiquen si esta bien lo que digo o es una ANIMALADA!
Hoy hablando con un amigo se nos apareció este ejercicio y recordé el foro (que hace tiempo que no entro), y decidí pasar a dejar la demostración que se me ocurrió de esta proposición, y utilizaré que la función está acotada a partir de cierto punto (\(0\) en nuestro caso) y no que posee límite (por lo que se puede cambiar la hipótesis del enunciado si se gusta).
Llamemos \(a_n\) a una sucesión positiva monótona creciente arbitraria que tienda a infinito, llamemos \(d\) a la diferencia entre alguna cota superior y alguna cota inferior y tomemos un valor \(x_0>0\) cualquiera. Ahora definimos \(x_{n+1} = x_n + a_n\).
A partir de esta sucesión, nos podemos generar otra sucesión como
Que por el teorema de Lagrange, para cada \(\xi_n\) existe un \(c_n\in (x_n,x_{n+1})\) de forma tal que \(f'(c_n)=\xi_n\).
Como \(c_n\in (x_n,x_{n+1})\) y \(x_n \longrightarrow \infty\) resulta que \(c_n \longrightarrow \infty\). Veamos ahora que \(f'(c_n) \longrightarrow 0\).