Final 11/04/13

Hola, el final pasado lo rendi (lo daba DE NAPOLI) y la verdad que me mato, me destruyo.
Alguno tiene los enunciados que yo no los recuerpo?

Saludso!

Una chica que rindió, posteo en el face que estos eran los ejercicios del final:

1. una exponencial facilonga, tenías que buscarle el plano tangente en cero. Después demostrar que en un entorno de cero el plano era menor o igual que la función, despues demostrar que suponiendo que existe una funcion que esta acotada entre el plano y la funcion de antes, que demuestres que la del medio es diferenciable y que calcules el gradiente en cero.
2. una función de una bola en R2 a R diferenciable, demostra que si el gradiente de la funcion es cero en toda la bola, entonces la funcion es constante en toda la bola, a partir de esto deduci que si existe una funcion g definida desde la bola a R y que el gradiente de g es igual al gradiente de f, demostra existe un c tal que f = g+ c.
3. F de Rn en R de clase C2 (el profe dijo que podíamos usar una función de clase C3, que no había problema) donde en X0 tiene un mínimo local. Demostrá que ahí el gradiente se anula y que la forma cuadrática asociada al hessiano de F en X0 es semidefinida positiva. Luego preguntaba: Es cierto que si f es de clase c2 y que el gradiente de f se anula en X0 y que la forma cuadrática asociada al hessiano en X0 es semidefinida positiva entonces X0 es mínimo local??
4. una f(t)=a la integral doble sobre el conjunto A del seno de la norma de x,y sobre la norma al cuadrado donde A es el conjunto 2<o igual a la norma de x y < o igual a t. Hallar los puntos críticos de f(t) y clasificarlos.

Espero que te sirva. Saludos!

Fue un examen bastante bardero..no porque fueran calculos dificiles sino que me parecio demasiado conceptual, tenias que estar muy despierto, el lado positivo es que Denapoli es bastante copado para corregir, no tenias que tener dos ejercicios bien necesariamente para aprobar sino que cada ejercicio valia 2,5 pts, asique fui robando puntos de algunos items y...aprobé de casualidad...El profe resolvio los ejercicios en el pizarron ¡antes de dar la nota! ....(Flor de hdp XD)...

el 1) a) es una huevada . b)Salia usando Tylor medio raro. c) salia aplicando la definicion de diferenciabilidad y sandwich.

2. a) Por el absurdo usando Lagrange en Rn. b) No me acuerdo como salia.

3. a) Habia que demostrar Fermat y un teoremita de extremos locales con formas cuadraticas. (por suerte me los acordaba de memoria XD) b) Es falso,habia que dar un contraejemplo.

4. Habia que usar polares , resolvias una de las integrales simples y con la otra usabas Teo fundamental del calculo, buscabas los puntos criticos y los analisabas con la derivada segunda.

Perdon por la desprolijidad

woyyen escribió:

el 1) a) es una huevada . b)Salia usando Tylor medio raro. c) salia aplicando la definicion de diferenciabilidad y sandwich.

Te hago una consulta, recordás cómo llegabas a determinar el gradiente de la función intermedia (g)? Porque hasta g en el punto con diferenciabilidad y sandwich va todo bien, pero después me quedo trabada en la parte del gradiente de g en el punto por (x, y).

Gracias!

Si alguien pone el enunciado completo quizá te podamos ayudar...

1. a) Encuentre la ecuación (en forma explícita) \(z = T(x, y)\) del plano tangente al gráfico de la
   función \(f: R^2 \to R\) definida por \(f(x, y) = e^{x+y}\) en el punto \((0, 0, f(0, 0))\).

b) Demuestre que en un entorno \(U\) del \((0, 0)\) se verifica que:
\(T(x, y) \le e^{x+y}\) \(\forall\) \((x, y) \in U\)

c) Supongamos que en un entorno \(V\) del \((0, 0)\) la función \(g : R^2 \to R\) satisface la desigualdad:
\(T(x, y) \le g(x, y) \le e^{x+y}\) \(\forall\) \((x, y) \in V\)
Demostrar que entonces g es diferenciable en (0, 0) y calcular \(\nabla g(0, 0)\).

Muchas gracias! Saludos.

Pudiste probar que g es diferenciable?

Buenas noches! No. Llegué a que g vale lo mismo que T y que f en (0,0). Pero no sé cómo hacer con el gradiente de g, para poder aplicar sandwich. Quizás lo estoy pensando mal. No sé si vos tenés otra idea que pueda ayudarme. Muchas gracias!

Van dos pistas, la segunda mas quemadora que la primera..
Pista 1: El gradiente de g en ese punto es el mismo que el de f
Pista 2: Escibi el limite de diferenciabilidad de g y acota usando sandwich

No me queda del todo claro de donde sale que \(\bigtriangledown g(0,0) = \bigtriangledown f(0,0)\)

Construyendo el limite de diferenciabilidad a partir de la consigna:

Como \(f(0,0) = g(0,0) = 1\)

Viendo que \(\bigtriangledown f(0,0) (x,y) = x + y\)

Dividiendo por la norma y tomando limite \((x,y) \rightarrow (0,0)\) queda g diferenciable, porque el limite de la derecha es 0 (f diferenciable)

Luego
... ¿unicidad del diferencial de g?

En contexto de final, ¿es válido decir que \(\bigtriangledown g(0,0) = \bigtriangledown f(0,0)\) solo mencionando eso?

¿Cómo hicieron el 1)b)? Y por favor no me digan "usando Taylor medio raro" jajaja
¡Gracias! 😄

Usando taylor normal

Creo que se podria decir que como ya vimos que ese limite era 0, la unica funcion lineal que verifica eso es la del plano tangente a g en el origen, que tiene como normal a el gradiente de g. Entonces necesariamente debe ser gradiente de f = gradiente de g. Otra cosa , que nose si esta bien, es derivar respecto de x e y en la desigualdad y ver que entonces la derivada parcial de g debe ser 1. Pero nose , porque creo que habria que saber que las derivadas parciales en g existen :/

No tiene sentido derivar ambos lados de una desigualdad (te dejo para que pienses contraejemplos). La mejor forma de hacer el ejercicio es plantear diferenciabilidad de g por definición y usar sándwich.

Hola. Como seria el 2 usando lagrange? No logro sacarlo

una bola es convexa (eso quiere decir que el segmento que une dos puntos cualesquiera está en la bola). Entonces agarrá un punto cualquiera de la bola (si querés el centro). Ahora cualquier otro punto se une con este. Parametriza el segmento y aplicá lagrange en una variable.

Buenisimo, graciaas.
Tengo que demostrar que la bola es convexa? Eso no se como

Para el ejercicio ni siquiera es necesario que pruebes que es convexa. Basta que pruebes que el segmento que une a un punto cualquiera de la bola con el centro de la misma está en la bola. (Hacete un dibujito para darte una idea)