Tema

Lagrange en 2 variables

3 respuestas 5597 visitas 2011-07-20

#1 kv310 2011-07-20 05:03

En éste me piden demostrar el Teorema de Lagrange para funciones de 2 variables y luego probar que

\vert e^x cos(y) - 1\vert \leq e^{\vert x \vert} \Vert(x,y)\Vert

Yo sé que $f(Q) - f(R) = < \triangledown f(P_o), Q - R >$ Pero no veo cómo juntar usar esto para la desigualdad. Alguna idea???

#2 exequiel131719 2011-07-20 05:57

Fijate que si $f(x,y)={e}^{x}\cos(y)$ entonces $\nabla f(x,y)=({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x))$. Notando que $f(0,0)=1$:

|{e}^{x}\cos(y)-1|=|f(x,y)-f(0,0)|=|<\nabla f(x,y),(x,y)-(0,0)>|=|<)=({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x)),(x,y)|

Recordamos la desigualdad de Cauchy-Schwartz, $|<v,v'>|\leq ||v||\cdot ||v'||$. Dado que

||({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x))||=\sqrt{{e}^{2x}{\cos}^{2}(y)+{e}^{2x}{\sin}^{2}(y)}={e}^{x}\leq {e}^{|x|}

la última cota debido a que $x\leq |x|$ y la exponencial es una función creciente. Usando esta cota y la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

|{e}^{x}\cos(y)-1|=|<({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x)),(x,y)>|\leq ||({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x))||\cdot ||(x,y)||\leq {e}^{|x|}||(x,y)||

que era lo que querías ver.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 kv310 2011-07-20 06:16

Gracias, mil gracias!

#4 kv310 2011-07-20 15:01

exequiel131719 escribió:

Fijate que si $f(x,y)={e}^{x}\cos(y)$ entonces $\nabla f(x,y)=({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x))$. Notando que $f(0,0)=1$:
$|{e}^{x}\cos(y)-1|=|f(x,y)-f(0,0)|=|<\nabla f(x,y),(x,y)-(0,0)>|=\vert< \left[{e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x)\left],(x,y) >\vert$
Recordamos la desigualdad de Cauchy-Schwartz, $|<v,v'>|\leq ||v||\cdot ||v'||$. Dado que
$||({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x))||=\sqrt{{e}^{2x}{\cos}^{2}(y)+{e}^{2x}{\sin}^{2}(y)}={e}^{x}\leq {e}^{|x|}$ la última cota debido a que $x\leq |x|$ y la exponencial es una función creciente. Usando esta cota y la desigualdad de Cauchy-Schwartz: $|{e}^{x}\cos(y)-1|=|<({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x)),(x,y)>|\leq ||({e}^{x}\cos(y),-{e}^{x}\sin(x))||\cdot ||(x,y)||\leq {e}^{|x|}||(x,y)||$
que era lo que querías ver.[/resolucion]