Bueno, este es un intento de Apunte que hice yo.. en realidad es para ver como cae la siguiente idea: la de hacer apuntes de los temas teoricos con un idioma lo mas light posible, sacando conclusiones de las definiciones y demostraciones que puedan llegar a derivar en posibles preguntas de examen.
Espero que:
- Se copen[/*:m]
- Me corrijan lo que vean que puede estar mejor (una suerte de apuntes OpenSource)[/*:m]
- Hagan apuntes propios y los cuelguen aca[/*:m]
- Me digan que les parece la idea, si vale la pena o no[/*:m]
Empiezo:
Teorema de la Funcion Inversa:
¿Que necesita el Teorema para funcionar?:
- Una funcion que sea de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^n\) en algun entorno abierto.
[/*:m] - Que sea de clase \(C^1\)
[/*:m] - Que el Jacobiano en el punto a analizar (de ahora en mas \(X_0\)) no se anule (recuerdo, el Jacobiano es el determinante de la matriz diferencial de la funcion en \(X_0\))(esto es, sacar todas las parciales evaluadas en \(X_0\), ponerlas como matriz, y sacarle determinante)[/*:m]
¿Que te dice el Teorema?:
Agarro un \(f(X_0) = Y_0\) entonces:
- \(X_0 \in U\) y \(Y_0 \in V\), U y V siendo entornitos abiertos en Rn que no se sabe en principio el tamaño
[/*:m] - \(f:U\rightarrow V\) es biyectiva. (en otras palabras, en esos entornos existe inversa)
[/*:m] - \(f^{-1}\) es de clase \(C^1\) en V
[/*:m] - Se puede calcular la Diferencial de la inversa: \(Df^{-1}(y) = Df( f^{-1}(y) )^{-1}\)
[/*:m] - Y en particular: \(Df^{-1}(Y_0) = Df( X_0 )^{-1}\) ( lo cual es obvio porq \(f^{-1}(Y_0) = X_0\) )[/*:m]
¿Que puedo saber con esto?:
- Primero que nada, como aprendimos a fuego en el parcial anterior, que no se cumpla alguna de las condiciones, no implica que la funcion no tenga inversa, solo que no podes usar el teorema, vas a tener que arremangarte y hacer todo a mano
[/*:m] - Para probar que la funcion inversa es de clase \(C^1\) cerca de \(Y_0\) solo basta con saber que la f(x0) va de \(\mathbb{R}^n\) en \(\mathbb{R}^n\) (esto piensen que, si no fuera asi, no podria ser biyectiva, y no podrias tener inversa), que es de clase C1 en x0 y que el Jacobiano en x0 no es 0... en definitiva, solamente decir que se puede usar el teorema ya resuelve el problema...
[/*:m] - El teorema permite calcular de forma facil la Diferencial de la funcion inversa en \(Y_0\) y puntos cerquita.. Ojo, no les da la funcion inversa, solo la diferencial.
[/*:m] - Fijense bien en algo.. en ningun lado dice que la funcion original tiene que ser biyectiva. Y no es ningun error ni nada, esto es asi, porq podrias partir tu funcion en entornos donde si sea biyectiva y el teorema funciona lo mas bien. Conclusion: que la funcion no sea biyectiva, no implica que el teorema no sirva.[/*:m]
Posibles preguntas:
- Probar que \(f^{-1}\) es de clase \(C^1\) en algun entorno
[/*:m] - Calcular Diferencial de \(f^{-1}\)
[/*:m] - Aproximar valores cercanos a \(f^{-1}(y_0)\) (recuerden que todo esto labura con diferenciales, y la diferenciales de cierta forma eso mismo: lo que le pasa a la funcion cuando te alejas poquitito del punto.Tonces:$$f^{-1}(y_0 + h) \approx f^{-1}(y_0) + Df^{-1}(h) = X_0 + Df^{-1}(h)$$[/*:m]
- Podrian obviamente, hacer la misma maldad, y preguntar algo donde no valga el teorema, entonces habria que invertir a mano.
[/*:m] - Probar que cierta funcion no biyectiva es inversible. Es mas teorico, pero sale si podes partir a la funcion en partes que si son biyectivas (piensen en el coseno en una variable.. no es biyectiva ni a palos, pero si la partis en partes que si sean biyectivas, se puede invertir y seria la funcion arccos() )[/*:m]
Bueno, eso es todo, espero que les sirva, y se copen y aporten.. si tienen cualquier cosa (algo de la teoria o mas preguntas) diganme y las agrego, en resumen comenten..