[Pedido] Tecnicas para acotar !

Cada vez que nos juntamos en familia, un domingo para comer un asado o en alguna ocasion especial, se arma un partidito de Truco, y esta mi abuelo ahi, que cada vez q va perdiendo ( algo muy extraño ) no se pierde de decir "*y... con cartas juega cualquiera! *"
Estando a un dia del recuperatorio, vuelvo a caer en lo mismo que jamas pude aprender para el primer parcial: acotar. Si, ya se que algunos deben estar pensando que es algo q no podria no saber, pero tambien se que otros estan en mi misma situacion. Y cuando quiero probar un limite acotando, me doy cuenta que mis herramientas, valga la redundancia, son limitadisimas...
Asi que lo q me gustaria con este topic, es que aporten todas las herramientas utiles que se les ocurra y entonces, tener mejores cartas para resolver este tipo de problemas..
Gracias !

Una herramienta fundamental es:

$$|x|\infty\le|x|2\le\sqrt{n}|x|\infty$$

Donde

El \(n\) es si trabajas en \(\mathbb{R}^n\) A no olvidarse que si acotas en el denominador o con cosas negativas se dan vuelta las desigualdades. Algo mas analitico: Un clasico: Espero que sirva y suerte!

Firma

Quimey

Editado 1 vez.

Grande Quimey... me daba pajar escribir todo eso 😛.

Tiro una muy buena, que siempre me salvo las papas: Lagrange. ¿Se acuerdan de Lagrange? Hay un teorema, que no es el de multiplicadores, que lleva su nombre, y dice algo así como

Dada un función \(f: (a,b) \to \mathbb R, \ C^1\), se tiene que dados x e y, \(a<x<y<b\), entonces existe un punto c, \(x<c<y\), tale que \(\frac{f(x) - f(y)}{x-y} = f'(c)\).

¿Cómo nos ayuda eso a acotar? Para muestra, un par de botones:

• \(\frac{|\sin x - \sin y|}{|x-y|} = |cos (c)| \leq 1\), por lo tanto \(|\sin x - \sin y| \leq |x-y|\).[/*:m]
• \(|e^x - e^y| \leq |e^a| |x-y|\) (si \(a > x > y\))[/*:m]
• En general, si \(f: [a,b] \to \mathbb R\) como arriba, y su derivada no se va al demonio en \((a,b)\), es decir, \(|f'(c)| \leq M\) para todo \(c \in (a,b)\), entonces tenemos que \(|f(x) - f(y)| \leq M|x-y|\).[/*:m]

Espero que quede claro... uno lo usa más de lo que cree.

Te cuento un secreto: Si copias y pegas de la wikipedia queda así.

Gracias ! =)

También puede usarse el polinomio de Taylor, estudiando el resto. Por ejemplo, si tenés \(f(x)\eq={e}^{x}\), sabemos que \({f}^{n}(x)\eq={e}^{x},n\in\mathbb{N}_{0}\). Luego, el polinomio de Taylor de orden n es, con su resto, con centro en el 0:
\(f(x)\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}\frac{{f}^{i}(0)}{i!}{x}^{i}+{R}_{n}(x)\). Despejando:

Luego, estudiando el signo del resto, encontrás una cota superior o inferior adecuada, dependiente del número de términos del polinomio. En este caso, el resto es: \({R}_{n}(x)\eq=\frac{{f}^{n+1}(c)}{(n+1)!}{x}^{n+1}\eq=\frac{{e}^{c}}{(n+1)!}{x}^{n+1}>0,\forall x\). Luego, siempre podés acotar por debajo una exponencial por un polinomio de términos tan grande como quieras, de la forma: La idea del polinomio es que te permite obtener expresiones polinómicas para acotar mejor. Tenés que pedir un poco más que sea una vez diferenciable, pero a veces es útil; si el resto es positivo, acotás por debajo a la función(por defecto). Si es negativo, por arriba(por exceso) Fijate si te sirve la idea.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Disculpá Quimey, pero no debería ser \(\|x\|_\infty=\max{|x_i|}}?\)

Mi humilde aporte: \(xy \leq \frac{1}{2} (x^2 + y^2)\)

Tenes razon. Ahora lo cambio