Integrales: Uniformenente continua + Composición

Estaba revisando la demo de "si \(f\) es continua, entonces es integrable". Eso me trajo la siguiente duda:

Defino \(f: [a,b] \rightarrow [c,d]\)
\(g: [c,d] \rightarrow R\), continua
Llamo \(\triangle_i\) a un intervalito de \([a,b]\)

entonces \(gof : [a,b] \rightarrow R\)

\(g\) es uniformemente continua por Cantor, entonces \(\forall \epsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 \,\, / \,\, |g(x) - g(y)| < \epsilon\), siempre que \(|x - y| < \delta\) y \(x,y \in [c,d]\)

sabemos que si \(|f(x) - f(y)| < \delta\), entonces \(|gof(x) - gof(y)| < \epsilon\).

La pregunta es:

si \(Sup \lbrace f(x) - f(y) : x,y \in \triangle_i \rbrace < \delta \Rightarrow Sup \lbrace gof(x) - gof(y) : x,y \in \triangle_i \rbrace < \epsilon\)

Parece bastante evidente, pero no puedo ver por qué pasa esto (asumo que ambos supremos son positivos, por eso no hay módulo).

Como siempre, si encuentro la respuesta antes, la escribo y ya queda para el foro. Grax

Como vale la primera desigualdad para cualquier \(x,y\) en el intervalito, vale la segunda desigualdad para cualquier \(x,y\) en el intervalito. Como la segunda desigualdad vale para todas estas \(x,y\), en particular vale para la más grande. Porque si para cada \(gof(x) - gof(y) < \epsilon\), en particular vale para la más grande de estas diferencias.