Vale en general que si \(W\) es abierto y \(f\) continua entonces \(f^{-1}(W)\) es abierto. La demostración es bastante fácil usando la definición de continuidad con \(\varepsilon\) y \(\delta\)
Escribo lo que pensé, porque nunca vi esa demostración.
Quiero ver que si \(Q \in F^{-1}(W) \Rightarrow\) \(\exists r>0 \, / B_r(Q) \subset F^{-1}(W)\)
Es decir, busco un punto \(P\) de \(B_r(Q)\) y pruebo que está en \(F^{-1}(W)\).
Elijo \(F(Q) \in W \Rightarrow Q \in F^{-1}(W)\)
Ahora tomo \(r > 0\) y defino \(B_r(Q) = \lbrace P \in R^n : \Vert Q - P \Vert < r \rbrace\)
Como \(F\) es continua, entonces \(\Vert F(Q) - F(P) \Vert < \epsilon\) siempre que \(\Vert Q - P \Vert < r\), es decir, siempre que \(P \in B_r(Q)\). Y como esta distancia es tan chica como yo quiera, puedo elegir un \(F(P) \in W\).
Pero entonces \(P \in F^{-1}(W)\)
Eso probaría la inclusión y por lo tanto que es un conjunto abierto.