Dem de suceciones

Hola!.
Bueno tengan en cuenta que recien empiezo a preparar el final de mate 1 asi que aca va una pregunta muy tranki
Es acerca de una proposicion que dice

Si A esta contendio en R, A es distinto de vacio, acotado superiromente y S=sup(A), entonces existe una sucesion (an) de elementos de a que es creciente y tiene limite S.

Bueno la primera parte la entendi perfectamente trabajando con los promedios.

Pero no entiendo como demostró Larotonda el tema de ver que tiene limite. Me gustaria que alguien me diera una explicacion sobre esto.

Saludos!!

Por definicion vale: \(a_n > \overline{a_n} = \frac{a_{n-1} + s}{2}\).

Eso implica \(-a_n < -\frac{a_{n-1} + s}{2} \Rightarrow s - a_n < s - \frac{a_{n-1} + s}{2} = \frac{s - a_{n-1}}{2}\)

Por ejemplo, si \(n = 3\) te queda \(s - a_3 < \frac{s - a_2}{2}\)

Pero ademas sabes que \(s - a_2 < \frac{s - a_1}{2}\). Si dividis ambos lados de la desigualdad por 2, te queda lo mismo que tenias arriba. Entonces, por transitividad tenes:

Repitiendo esto n veces, y como todos los terminos son positivos, porque \(s > a_n \, \forall n\) entonces:

Como lo de la derecha es una constante sobre algo que se hace tan grande como uno quiera, o sea:

Por lo tanto, por sandwich, \(\lim_{n \to \infty} s - a_n = 0\), luego \(\lim_{n \to \infty} a_n = s\).

Gracias!! entendi muy bien.

Otra pregunta de suceciones, acerca esta vez del Teo. de sucesiones monótonas.

La demostracion esta trabajada con dominantes.

Aca dice que an es dominante si an≥ak para todo k≥n, que no quiere decir que sea el mas grande. Pero no son sucesiones diferentes no?
Hay dos casos:

1 con dominantes infinitos donde an1≥an2≥an3≥ank esta seria sucesion decreciente
2 con dominantes finitos o nulos y aca lo que dice es que camina hasta el ultimo dominante y elige el termino siguiente, an1. Como an1 no es dominante elige an2, pero este tampoco lo es y asi... esta seria creciente

Pero no esta muy claro, si alguien me puede ejemplificar con algun grafico seria genial, pero sino, agradeceria una explicacion mas clara.

Yo lo conocía como punto cumbre. De cualquier forma, la idea es mostrar que existe siempre una subsucesión monótona en \({a}_{n}\) para probar luego el teorema de Wierstrass(sucesión acotada tiene subsucesión convergente). La idea proviene justamente con que te parás sobre lo alto de una cumbre, y ves los demás puntos que vienen después(esto es, \({a}_{n}\geq {a}_{k}\forall k\geq n\)). Ahora...
-si hay infinitos puntos cumbre, consideramos \({A}_{1}\eq=\{n\in \mathbb{N}:{a}_{n}\) es punto cumbre\(\}\). Es un conjunto de números naturales. Por lo tanto, tiene mínimo(esto es el principio de buen orden de los naturales. Si cursaste álgebra no te sonará raro. Sino, hay que creerse la afirmación que todo subconjunto de números naturales tiene mínimo). Sea \({n}_{1}\) tal elemento. Se verifica que \({a}_{{n}_{1}}\geq {a}_{n},\forall n\geq {n}_{1}\). Entonces \({a}_{{n}_{1}}\) será nuestro primer elemento de la subsucesión. Para el siguiente término, se considera \({A}_{2}\eq=\{n\in \mathbb{N},n>{n}_{1}:{a}_{n}\) es punto cumbre \(\}\). De nuevo con el mismo argumento de antes, elegís el mínimo \({n}_{2}\) de ese conjunto y así...
con este proceso te armas una sucesión monótona decreciente.
-Si no hay infinitos puntos cumbres, se procede parecido a lo que dije antes, pero por la negación. O sea, que un punto \({a}_{n}\) no sea cumbre quiere decir que \(\exists k>n\) tal que \({a}_{n}<{a}_{k}\). Entonces lo que hacemos es:
si \(A\eq=\{{a}_{{n}_{1}},\cdots ,{a}_{{n}_{k}}\}\) es el conjunto de puntos cumbres,consideramos algún \({N}_{1}>k\)(los subíndices de A están ordenados de menor a mayor. Como no es un punto cumbre \({a}_{N}\), existe \({N}_{2}>{N}_{1}\) tal que \({a}_{{N}_{1}}\). Como \({a}_{{N}_{2}}\) no es punto cumbre, existe \({N}_{3}>{N}_{2}\) tal que \({a}_{{N}_{2}}<{a}_{{N}_{3}}\). Como no es punto cumbre...
Así te armás una subsucesión monótona creciente \({a}_{{N}_{k}}\)
Fijate si consigue aclarar esto. Saludos.