Hola. tengo un problema con este ejercicio y agradeceríamos mucho su ayuda.
Se define recursivamente la sucesión: \((a_{n})n\in{\mathbb{N}\) de la siguiente manera:
Conjeturar el valor de \((a_{n})\) para todo \(n\) natural, \(n \ge 2\) y probar su validez por inducción.
Estuve con unos amigos intentando resolverlo por un buen rato, pero no llegamos a nada. Por lo que logramos hacer, la sucesión es 2 en le primer término y después es \(\frac{1}{2}\) para cualquier otro valor de n.
Hay que probar eso por inducción. A mi se me ocurrió que la sucesión se puede reescribir como \(\frac{2+\frac{n-1}{2}}{n+3}\). De ahi probar que eso es \(\frac{1}{2}\) para todo n (excepto 2) es bastante fácil, pero probar por inducción que la sucesión original es esa cosa que se nos ocurrió es tan complicado como probar que es igual a \(\frac{1}{2}\) (o más). Intentamos plantearlo como una iducción global, pero nos queda siempre un término \(a_{n+1}\) que nos molesta y no sabemos como despejarlo.
¿Podrían guiarnos con como resolverlo?.
Muchas gracias.
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