Buenas gente, quería saber si alguno me daba una mano para controlar el ejercicio que a continuación menciono, ya que estoy preparando un recuperatorio. Desde ya se agradece =)
Sea a entero tq a Ξ 2 (7) y sea b entero tq (a : b) = 1. Hallar el resto de dividir por 7 a b sabiendo que (5a + 4b : 16a + 3b) (*) es distinto de 1.
Se que existe d distinto de 1 tq d divide a 5a + 4b y d divide a 16a + 3b. Esto implica que d divide a 49a y también implica que d divide a 49b. Supongamos ahora un p primo tq p divide a (d). Luego p divide a 49a lo que implica que p divide a 49 o p divide a (a). A su vez, p divide a 49b lo que implica que o bien p divide a 49 o p divide a (b). A priori la condicion incompatible es que p divida a (a) y p divida a (b) pues (a : b) = 1.
Tampoco es posible que p divida a (a) pues:
Si p divide a (a), no divide a (b) y por lo tanto p divide, simultaneamente, a 49. De aquí p es 1 ó 7. Pero 1 no puede ser pues sabemos que (*) es distinto de 1. De aqui, p divide a 7 y p divide a (a), pero por hipótesis, (a) no es divisible por 7.
Entonces, para que (*) sea cierto, p debe dividir a 49, p debe dividir a (b) y p debe ser distinto de 1. Por ende p es 7 y (b) es divisible por 7, entonces el resto pedido es 0.
Bueno, ni idea si esta correcto pero gracias desde ya a quien le pegue una mirada...
Saludos!
Se que existe d distinto de 1 tq d divide a 5a + 4b y d divide a 16a + 3b. Esto implica que d divide a 49a y también implica que d divide a 49b. Supongamos ahora un p primo tq p divide a (d). Luego p divide a 49a lo que implica que p divide a 49 o p divide a (a). A su vez, p divide a 49b lo que implica que o bien p divide a 49 o p divide a (b). A priori la condicion incompatible es que p divida a (a) y p divida a (b) pues (a : b) = 1.
Tampoco es posible que p divida a (a) pues:
Si p divide a (a), no divide a (b) y por lo tanto p divide, simultaneamente, a 49. De aquí p es 1 ó 7. Pero 1 no puede ser pues sabemos que (*) es distinto de 1.
Esto es fruta 🙂 La razón por la cual \(p\) no puede ser 1 es porque \(p\) es primo. Que 1 divida al MCD que mencionás es perfectamente válido; de hecho, siempre se cumple.
LeandroLiptak escribió:
De aqui, p divide a 7 y p divide a (a), pero por hipótesis, (a) no es divisible por 7.
En realidad, \(p\) debería ser 7 y entonces \(7|a\), pero entonces sería \(a\equiv 0 (7)\), lo cual es falso. Luego\(p\nmid a\).
LeandroLiptak escribió:
Entonces, para que (*) sea cierto, p debe dividir a 49, p debe dividir a (b) y p debe ser distinto de 1. Por ende p es 7 y (b) es divisible por 7, entonces el resto pedido es 0.
No. Fijate lo siguiente: Vos habías llegado, por un lado, a que \(p|49 \vee p|a\) y, por otro, a que, \(p|49 \vee p|b\). Luego, sabés que se tiene que satisfacer \((p|49 \vee p|a)\wedge(p|49 \vee p|b)\). De aquí se desprende que se tenga que satisfacer alguna o varias de las proposiciones siguientes:
\(p|49\)[/*:m]
\(p|49 \wedge p|b\)[/*:m]
\(p|49 \wedge p|a\)[/*:m]
\(p|a \wedge p|b\)[/*:m]
Vos recién mostraste que las últimas dos no pueden ser verdaderas. Si mirás las dos primeras, deducís que sí o sí debe satisfacerse que \(p|49\). Luego, como \(p\) es primo, \(p\) tiene que ser 7. Entonces, ahora usamos que 7 divide tanto a \(5a + 4b\) como a \(16a + 3b\). A decir verdad, con saber que 7 divide a uno de los dos ya nos alcanza.
Ayer lo hice medio a las rajadas y hoy me di cuenta que me habia comido una posibilidad (p|49). Pero me vino genial la ultima parte que me corrigieron 🙂
Bueno, me entere que no recupero este viernes sino el que de la semana que viene asi que capaz subo algunos mas...