Saludos
Tema
[A Resolver] Recuperatorio Segundo Parcial [21/07/04]
Alguien pudo hacer el 5? es tan espantoso como me esta quedando a mi dsp de multiplicar y sumar las raices?
Hola que tal?
Intenté hacer el ej 5), si hay algun error grave por favor avisar:
$$f(x)={x}^{4}- 6{x}^{3} + a{x}^{2} + bx + 27$$
Considero como raices de f(x) a s1, s2, s3, s4 y s1 + s2 = 4 y s3.s4 = 3
Por otro lado, una funcion generica g(x), de grado 4, se puede representar de la siguiente forma:
$$g(x)= (x-s1)(x-s2)(x-s3)(x-s4) = {x}^{4} + (-s1-s2-s3-s4){x}^{3} + (s4.s3 + s2.s4 + s2.s3 + s1.s4 + s1.s3 + s1.s2){x}^{2} + (-s1.s4.s3 - s1.s2.s4 - s2.s4.s3 - s1.s2.s3)x + s1.s2.s3.s4$$
Luego quiero que f y g sean la misma funcion. Por eso expresé que s1, s2, s3 y s4 son las raices de ambas funciones.
Igualando los coeficientes de ambas funciones me quedan los siguiente items:
- \(-6 = -s4 -s3 - s2 - s1 \Leftrightarrow 6 = s4 +s3 + s2 + s1 \Leftrightarrow 6 = s4 +s3 + 4 \Leftrightarrow s4 +s3= 2\)
..................................................................................... (usando \ s1 + s2 = 4)
**
$$a = s4.s3 + s2.s4 + s2.s3 + s1.s4 + s1.s3 + s1.s2 \Leftrightarrow a = s4.s3 + s2(s4+s3) + s1(s4+s3) + s1.s2 \Leftrightarrow$$
..................................................................................................................(usando *, ** y s3.s4=3)
$$\a = 3 + 2.s2 + 2.s1 + 9 \Leftrightarrow a = 2.(s2 + s1) + 10 \Leftrightarrow a = 2.4 + 12 \Leftrightarrow a = 20$$
***\(\ b =-s1.s4.s3 - s1.s2.s4 - s2.s4.s3 - s1.s2.s3 \Leftrightarrow b = s4.s3(-s1-s2) - s1.s2(s4+s3) \Leftrightarrow\)
..................................................................................................................((usando *, **** y s3.s4=3))
$$b=3(-s1-s2) - 9.2 \Leftrightarrow b = 3(-4) - 18 \Leftrightarrow b = -30$$
.........................(usando s1+s2=4)
****\(27 = s1.s2.s3.s4 \Leftrightarrow 27 = s1.s2.3 \Leftrightarrow s1.s2 = 9\)
........................................................................((s3.s4=3))
Finalmente tomando los resultados de todos los items f(x) me quedaria expresado de la siguiente forma:
$$f(x)={x}^{4}- 6{x}^{3} + 20{x}^{2} - 30x + 27$$
Acá intenté hacer el 1) si esta mal justificado algo, avisar:
$$({a}^{180} + {a}^{2} + 18 : {19}^{2}) = 1$$
Acá se puede ver que si \(19\vert {a}^{180} + {a}^{2}+18\) entonces el resultado de mcd sería 19 y no 1. Por lo tanto por ahora la unica conclusion que puedo sacar por ahora es que \(19 \nmid {a}^{180} + {a}^{2}+18\)
Luego primero busco las 'a' que cumplen con esto:
Luego separo dos casos que puede cumplir 'a':
-Si \(19\mid a\) entonces \({a}^{180} + {a}^{2} + 18 \equiv 0 + 0 + 18 \equiv 18 \not\equiv 0 (19)\). Por lo tanto este caso cumple con lo que buscaba probar.
-Si \(19\nmid a\) y como 19 es un primo positivo puedo usar Lagrange, que dice que \({a}^{18}\equiv 1 (19)\). Luego aplico esto:
$${a}^{180} + {a}^{2} + 18 \equiv {({a}^{18})}^{10} + {a}^{2} + 18 \equiv {a}^{2}+19\equiv {a}^{2}\not\equiv 0 (19)$$
El ultimo paso no se si está bien justificado pero pensé que al ser 19 un nro primo, este no podria ser congruente a la multiplicacion de dos nros distintos a él, ya que en este caso 19 no divide a al nro 'a'.
Luego considerando los dos casos posibles, queda probado que
$$({a}^{180} + {a}^{2} + 18 : {19}^{2}) = 1$$
Arranqué con el 3), si hay errores de justificacion por favor avisen:
$$\begin{Bmatrix}2x\equiv 24(90) \\ 5x\equiv 12(21)\end{matrix} \Leftrightarrow \bigskip$$
(factorizo cada unos de los dos modulos en factores coprimos entre si quedandome este sistema equivalente)
$$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix}2x\equiv 24(9) \\ 2x\equiv 24(5) \\ 2x\equiv 24(2) \\ 5x\equiv 12(7) \\ 5x\equiv 12(3) \end{matrix}\Leftrightarrow \bigskip$$
(usando modulo en cada caso me queda lo siguiente)
$$\\ \Leftrightarrow \begin{Bmatrix}2x\equiv 6(9) \\ 2x\equiv 4(5) \\ 2x\equiv 0(2) \\ 5x\equiv 5(7) \\ 2x\equiv 0(3) \end{matrix}\Leftrightarrow \bigskip$$
(en cada uno de las congruencias del sistema multiplico ambos lados por un nro que es coprimo al modulo, logrando de esta forma que el coeficiente que acompaña a X se transforme en 1. Por otro lado se observa que el modulo de 2 no aporta nada porque al aplicar la congruencia en esta me queda 0\equiv 0(2) por lo tanto lo puedo quitar del sistema)
$$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix}5.2x\equiv 5.6(9) \\ 3.2x\equiv 3.4(5) \\ 3.5x\equiv 3.5(7) \\ 2.2x\equiv 2.0(3) \end{matrix}\Leftrightarrow \bigskip$$
(operando cada uno de las congruencias me queda)
$$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix}x\equiv 3(9) \\ x\equiv 2(5) \\ x\equiv 1(7) \\ x\equiv 0(3) \end{matrix}\Leftrightarrow \bigskip$$
(acá puedo tomar la congruencia de mod 9 y desechar el de mod 3 sin alterar el sistema. Ya que con \(x\equiv 3(9)\) me aseguro que se cumpla que X sea mult de 3. En definitiva los valores de X que cumplen con \(x\equiv 3(9)\) sería un subconjunto de las X que cumplen con \(x\equiv 0(3) \bigskip\) )
$$\bigskip\Leftrightarrow \begin{Bmatrix}x\equiv 3(9) \\ x\equiv 2(5) \\ x\equiv 1(7)\end{matrix} \bigskip$$
Luego aplico el Teorema Chino del Resto
n1=3, m1=9, M1=35
Para hallar una solucion de x1, resuelvo \(M1.X \equiv n1(m1)\) reemplazando me queda:
$$35.X \equiv 3(9) \Leftrightarrow 8.8.X \equiv 24(9) \Leftrightarrow X \equiv 6(9)$$
......(multiplico por 8, es coprimo con el 9, en ambos lados para que me quede la X sola)
n2=2, m2=5, M2=63
Para hallar una solucion de x2, resuelvo \(M2.X \equiv n2(m2)\)
reemplazando me queda:
n3=1, m3=7, M3=45
$$63.X \equiv 2(5) \Leftrightarrow 2.3.X \equiv 2.2(5) \Leftrightarrow X \equiv 4(5)$$
......(multiplico por 2, es coprimo con el 5, en ambos lados para que me quede la X sola)
n3=1, m3=7, M3=45
Para hallar una solucion de x3, resuelvo \(M3.X \equiv n3(m3)\)
reemplazando me queda:
$$45.X \equiv 1(7) \Leftrightarrow 5.3.X \equiv 5(7) \Leftrightarrow X \equiv 5(7)$$
......(multiplico por 5, es coprimo con el 7, en ambos lados para que me quede la X sola)
Luego Resto(X) = M1.X1 + M2.X2 + M3.X3 = 35.6 + 63.4 + 45.5 = 687[/tex]\equiv 57 (315)[/tex]
Finalmente X = 315.q + 57 con q que pertenece a Z
Creo que están los tres bien(el de T.C.R no seguí las cuentas). En particular, es importante que hayas marcado los si y sólo si porque eso ahorra en el primero la corroboración de que el polinomio que obtuviste verifica lo pedido. En cuanto al paso de por qué \({a}^{2}\not \equiv 0(19)\), es porque si \(a\) es coprimo con \(19\), tiene inverso \({a}^{-1}\) módulo 19. Luego, si \({a}^{2}\equiv 0(19)\), multiplicando por el inverso se llega a \({a}^{-1}{a}^{2}=a\equiv 0(19)\) lo que es contradictorio con la hipótesis de coprimalidad.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Acá hice el 3)
Por un lado resuelvo el argumento:
$$0 \leq arg(\frac{z^4}{i}) \leq \frac{\Pi}{2}$$
$$0 \leq arg(z)^4 + arg{(i)}^{-1} \leq \frac{\Pi}{2}$$
$$0 \leq 4.arg(z) - arg(i) -2K\Pi\leq \frac{\Pi}{2}$$
$$0 \leq 4.arg(z) - \frac{\Pi}{2} - 2K\Pi\leq \frac{\Pi}{2}$$
$$\frac{\Pi}{2} + 2K\Pi \leq 4.arg(z) \leq \Pi + 2K\Pi$$
$$\frac{\Pi +4K\Pi}{8} \leq arg(z) \leq \frac{\Pi + 2K\Pi}{4}$$
Luego:
Si K=0, \(\frac{\Pi}{8} \leq arg(z) \leq \frac{\Pi}{4}\)
Si K=1, \(\frac{5\Pi}{8} \leq arg(z) \leq \frac{3\Pi}{4}\)
Si K=2, \(\frac{9\Pi}{8} \leq arg(z) \leq \frac{5\Pi}{4}\)
Si K=3, \(\frac{13\Pi}{8} \leq arg(z) \leq \frac{7\Pi}{4}\)
Ahora resuelvo la parte del modulo:
$$\mid \frac{z^4}{i} \mid \leq 16$$
$$\frac{\mid z^4 \mid}{\mid i \mid} \leq 16$$
$$\mid z\mid ^4 \leq 16$$
$$\mid z\mid \leq \sqrt[2]{16}$$
Como siempre si hay algo incompleto por favor avisar.
Editado 1 vez.
Aca está el 4)
Vengo embalado parece... lo que me llama la atencion de este ejercicio es que no pude aprovechar la pista que me da el enunciado, osea, derivé pero por ese medio no encontré la forma de resolverlo. En este caso me salió haciendo cambio de variables.
Pero me gustaria saber como se puede resolver con las derivadas ya que podría pasar que un ejercicio sólo se pueda resolver de esta forma y no con cambio de variables.
Primero hago el cambio de variable \(x^2 = z \ luego \ f(z) = z^3 - 2.z^2 -4.z + 8\)
Aplicando el Criterio de Gauss hallé dos raices \(z=2 \ y \ z=-2\)
Por otro lado \((z-2).(z+2) = (z^2 - 4)\)
Luego divido \(f(z) \ por \ (z^2 - 4)\) y me queda como resultado \(z-2\)
$$Luego f(z) = (z-2)^2.(z+2)$$
Reemplazando \(z = x^2 : \ f(x) = (x^2-2)^2.(x^2+2) = ((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}))^2.((x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i))\) esto seria f en C
\(f(x) = (x^2-2)^2.(x^2+2)^2\) esto seria f en Q
\(f(x) = ((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}))^2.(x^2+2)^2\) esto seria f en R
The Pulp escribió:
Acá hice el 3)
Por un lado resuelvo el argumento:$$0 \leq arg(\frac{z^4}{i}) \leq \frac{\Pi}{2}$$$$0 \leq arg(z)^4 + arg{(i)}^{-1} \leq \frac{\Pi}{2}$$$$0 \leq 4.arg(z) - arg(i) \leq \frac{\Pi}{2}$$$$0 \leq 4.arg(z) - \frac{\Pi}{2} \leq \frac{\Pi}{2}$$$$\frac{\Pi}{2} \leq 4.arg(z) \leq \Pi$$$$\frac{\Pi}{8} \leq arg(z) \leq \frac{\Pi}{4}$$Ahora resuelvo la parte del modulo:
$$\mid \frac{z^4}{i} \mid \leq 16$$$$\frac{\mid z^4 \mid}{\mid i \mid} \leq 16$$$$\mid z\mid ^4 \leq 16$$$$\mid z\mid \leq \sqrt[2]{16}$$Finalmente el grafico me queda una porcion de un circulo de radio 2 con centro en el origen de coordenadas, que queda delimitado en el primer cuadrante entre \(\frac{\Pi}{8} y \frac{\Pi}{4}\)
Como siempre si hay algo incompleto por favor avisar.
Creo que en este hay un error, porque cuando aplicas De Moivre te debería quedar \(0 \leq arg(z)^4 + arg{(i)}^{-1} - 2k\pi \leq \frac{\Pi}{2}\), dandote cuatro posibles rangos para el \(arg(z)\), no?
Gracias por la correccion. Ya lo modifiqué. Si hay otra cosa que no esté bien avisen.
Saludos.