A ver si me pueden ayudar con este ejercio, que no me sale =/
Sea \(c_{l}\) la sucecion definida recursivamente como sigue:
\(c_{0} =1\), \(c_{n}=1- \sum_{n-1}^{l=0}c_{l} \binom {n+1} {n-l}\)
Probar que \(\forall n\geq0\), \(C_{n}= (-1)^n\)
Tema
Final 27-7-05 ejercicio 4
Tiro la idea que se me ocurre:
\({c}_{0}\) verifica la fórmula a conjeturar. Ahora, procedemos por inducción completa. Si vale que \({c}_{i}\eq={(-1)}^{n}\) para todo \(i<n+1\), consideramos \({c}_{n+1}\):
$${c}_{n+1}\eq=1-\sum_{i\eq=0}^{n}{C}_{i} {n+2 \choose n+1-i}\eq=1-\sum_{i\eq=0}^{n} {(-1)}^{i}{n+1+1\choose n+1-i}$$
Ahora, usamos la propiedad del triangulo de Tartaglia, vale decir, que \({k \choose j}+{k\choose j+1}\eq={k+1\choose j+1}\) tomando \(k\eq=n+1,j\eq=n-i\). Luego:
$${c}_{n+1}\eq=1-\sum_{i\eq=0}^{n}{(-1)}^{i} [{n+1\choose n-i}+{n+1\choose n+1-i}]\eq=1-[\sum_{i\eq=0}^{n}{(-1)}^{i}{n+1\choose n-i}+\sum_{i\eq=0}^{n}{(-1)}^{i}{n+1\choose n+1-i}]$$
Ahora, es más fácil ver que \(\sum_{i\eq=0}^{n}{(-1)}^{i}{n+1\choose n-i}+\sum_{i\eq=0}^{n}{(-1)}^{i}{n+1\choose n+1-i}\eq=1+{(-1)}^{n}\). Esto tiene que ver con que vas sumando y restando lo mismo. Reemplazando, queda:
$${c}_{n+1}\eq=1-(1+{(-1)}^{n})\eq=1-1-{(-1)}^{n}\eq={(-1)}^{n+1}$$
Esto prueba el paso inductivo.
Está muy desprolijo y hay un paso que no justifiqué, pero creo que debería salir.
Ahora, si probar lo que dije era donde recidía la duda, una sugerencia adicional sería:
\(0\eq={(1-1)}^{n+1}\eq=\sum_{i\eq=0}^{n+1}{(-1})^{i}{n+1\choose i}\)
De acá separás la suma adecuadamente para que te queda la suma que define \({c}_{n}\)
Espero que todo esto sirva. Disculpá por no poner algo mejor(la hora me vence) y la desprolijidad.
Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Si, buenisimo, muchas gracias