Pregunta teórica

Sea \(T\) un conjunto tal que \(T\cap\mathbb{N}\neq\emptyset\)
y \(T\subseteq \mathbb{N}\) entonces \(T\) tiene primer elemento.
Demostración:...🙂 Si alguno sabe por que la parte de números naturales no entiendo mucho

Desde ya gracias.

El enunciado que pusiste es equivalente al principio de induccion.
Aca esta como se prueba a partir de este:
Si \(1\in T\) entonces 1 es el primer elemento de T.
Supongamos que si \(n\in T\) entonces T tiene primer elemento y veamos que si \(n+1\in T\) entonces T tiene primer elemento.
Si \(\exists m<n+1, m \ \in T\) por hipotesis inductiva T tiene primer elemento, si no es claro que n+1 es el primer elemento.
Con lo cual el teorema queda probado por induccion
Espero que se entienda, cualquier cosa preguntá

Lo digo por qeu se usa un montón este teorema, por ejemplo en el del algoritmo de división.
La verdad es uqe no sé si es teorema o es un principio, Quymey si te podés explayar un poco más te agredezco desde ya muchas gracias.🙂

Cuando definís a los números naturales, vos podés usar o el principio de inducción, o el principio de buena ordenación, puesto que son equivalentes. O sea... no notarías la diferencia si usarás uno y otro para definirlos.
Para que te des una idea, cuando construís los números reales, vos agregás un axioma más, que es el de completitud(o supremo). Sin embargo, vos podrías cambiar este axioma, y pedir que toda sucesión monótona creciente y acotada, tenga límite, y no sentirías el cambio(o sea, es equivalente al axioma de supremo)
En fin... no se si terminé aclarando.

La verdad que tengo una idea de lo qeu hablamos pero me cuesta ver que dos cosas que no se pueden probar sean axiomas o principios sean no sé si equivalentes pero
que se puede cambiar una cosa por la otra y que siga siendo lo mismo.
Es algo qeu me parte la cabeza.
Muy bueno gracias por los aportes

Acá está es el principio de buena ordenación.
http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_ ... aci%C3%B3n
Gracias por los post saludos.

La idea es que si aceptás uno como axioma, el otro se puede demostrar como si fuera un teorema:

Si empezás poniendo el principio del buen órden de los números naturales como axioma, podés demostrar que vale hacer inducción para demostrar algo, y si suponer que el principio de indución es cierto, entonces vale el principio del buen órden.