Taller de ejercicios

La idea de este topic es elaborar ejercicios, como propuso Yossarian, para armar una práctica(lo que quieran, mientras sea un ejercicio). Yo empiezo con uno, de polinomios:
Sea el polinomio \(f\eq=16{X}^{5}-20{X}^{3}+5{X}+1\). Notemos que es un polinomio con coeficientes racionales. Lo sorprendente reside en que tiene una raíz muy interesante. Probar que \(\cos(\frac{\pi}{5})\) es una raíz de este polinomio. Probar también que \(f\eq=16{X}^{5}-20{X}^{3}+5{X}\) tiene como una de sus raíces a \(\sin(\frac{\pi}{5})\). Finalmente, hallar un valor cerrado para \(\sin(\frac{\pi}{5}),\cos(\frac{\pi}{5})\)
Bueno, ahora pongo la tercera parte del ejercicio, que se me ocurrió plantear, gracias a una explicación de uno de los profesores de la teórica de álgebra. Según lo que entendí, los números que son raíces de polinomios \(f\in \mathbb{Q}[X]\), se llaman algebraicos. Cumplen muchas propiedades importantes, pero en particular, de los polinomios que propuse anteriormente, puede probarse, que los números \(\sin(\frac{\pi}{a}),\;a\in \mathbb{Z}\;,a\neq0\) son algebraicos. Ese es el tercer planteo; probar que los números descritos son algebraicos. Si no hice mal las cuentas, viendo como se construyeron los polinomios anteriores, puede plantearse.
Espero que les interese la propuesta. Saludos