duda sobre el final de álgebra del 25 de Julio

Holas, hoy di final de álgebra y me quedó una duda... el enunciado decía p perteneciente a los naturales, p primo, a congruente a b módulo p, a y pertenecen a los enteros; demostrar que a elevado a la p a la n es congruente a b elevado a la p a la n para todo n perteneciente a los naturales, ¿se les ocurre alguna forma de hacerlo sin usar binomio de Newton en la inducción?
Gracias!

Es esencialmente la misma idea, pero hacés que te quede \({a}^{{p}^{n+1}}-{b}^{{p}^{n+1}}\eq={({a}^{{p}^{n}})}^{p}-{({b}^{{p}^{n}})}^{p}\eq=({a}^{{p}^{n}}-{b}^{{p}^{n}})\sum_{i\eq=1}^{p}{({a}^{{p}^{n}})}^{i-1}{({b}^{{p}^{n}})}^{p-i}\). Por acá el ejercicio sale muy fácil. Fijate que la hipótesis inductiva asegura que \({p}^{n+1}|({a}^{{p}^{n}}-{b}^{{p}^{n}})\). Luego solo probás que \(p|\sum_{i\eq=1}^{p}{({a}^{{p}^{n}})}^{i-1}{({b}^{{p}^{n}})}^{p-i}\). Cuando tomás congruencia módulo p, si a,b son divisibles por p, el resultado es trivial. Sino, vale el P.T.F. Después de reordenar un poco, te queda algo como \(\sum_{i\eq=1}^{p}1\eq=p\equiv 0(p)\). Fijate si te ayuda esta manera.