Tema
Bueno, voy a poner todos los ejercicios a medida que los vaya pasando a TeX y todo eso, pero tengo una duda con este (el 2) que no tengo idea como se hace, si alguien sabe...
all your base are belong to us
Yo en el parcial lo hice mal, pero ayer pensándolo tranquilo se me ocurrió lo siguiente.
Veo, entonces, congruencia para 11 y para 13.
Por Fermat, sé que \({2}^{10} \equiv 1 (11)\) y que \({2}^{12} \equiv 1 (13)\)
Así, \({2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{6}+{2}^{24}+{2}^{120}+{2}^{720}+...+{2}^{(3n)!}\equiv 2+4+9+5+1+1+1+...+1 (11)\)
Y \({2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{6}+{2}^{24}+{2}^{120}+{2}^{720}+...+{2}^{(3n)!}\equiv 2+4+12+1+1+1+1+...+1 (13)\)
Viendo en grupos de a tres (porque la sumatoria va hasta 3n), en "la primera tríada" tengo que \({2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{6} \equiv 4 (11)\) y \({2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{6} \equiv 5 (13)\)
Siguiendo la misma lógica, \({2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{6}+{2}^{24}+{2}^{120}+{2}^{720} \equiv 0 (11)\) y \({2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{6}+{2}^{24}+{2}^{120}+{2}^{720} \equiv 8 (13)\)
De acá llegamos a que con n=2 se cumple que 11 divide a la sumatoria, pero 13 no.
Tenemos que encontrar, pues, un n para que se cumplan ambas condiciones.
La ventaja, ahora, es que todos los términos restantes sabemos que son unos.
Vuelvo a pensar en "tríadas" y remarco que cada una de las que me quedan suma 3.
Llamo X a la cantidad de tríadas que debo agregar para lograr que 11 y 13 dividan a la sumatoria resultante.
Luego, para que esto suceda debe ocurrir que \(3X \equiv 0 (11)\) y \(8+3X \equiv 0 (13)\)
De plantear ambas ecuaciones de congruencia, tengo que \(X \equiv 0 (11)\) y \(X \equiv 6 (13)\)
Por TCR, sé que existe una única solución menor a 11.13=143. La calculo y noto que es 110.
Este 110 es el X que representaba a las tríadas "a agregar". O sea que habría 110.3+6=336 elementos.
336/3=112. Con lo cual este 112 sería el n que estábamos buscando.
Espero que se haya entendido.
Aclaro, por las dudas, que no sé si está bien el resultado.
Simplemente es lo que pensé de tantas vueltas que le di.
Ya aparecerá alguien por acá para ratificar o rechazar lo que puse.
Saludos.
La respuesta es la correcta, gracias!